如圖，在四棱錐中，平面，平面，，．

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）求二面角的大小．

 

【答案】

(Ⅰ)詳見解析；(Ⅱ)

【解析】

試題分析：(Ⅰ)根據(jù)兩個平面垂直的條件，在平面內(nèi)找到一條垂直于平面的直線即可，取的中點，可證明平面；(Ⅱ) 二面角與二面角相等，二面角的平面角為，求出即可.（解法2采用的是向量的方法，求出平面、的法向量，即可證明平面平面；求出平面、的法向量，即可求出二面角.）

 (Ⅰ)證明：取的中點，的中點，連，，，則 

平面，平面，∴，

是平行四邊形，.

，，又平面.

平面.平面.

從而平面平面.                                 6分

(Ⅱ)二面角與二面角相等，

由(Ⅰ)知二面角的平面角為.

，，

得，，

為正方形，，

∴二面角的大小為．                             12分

解法2：取的中點，連.

，，又平面.

以為原點建立如圖空間直角坐標(biāo)系，

則由已知條件有: ，，

設(shè)平面的法向量為，

則由

及

可取 

又平面，，平面，

∴平面的法向量可取為.

， ∴，∴平面平面.           6分

（Ⅱ）設(shè)平面的法向量為，

則由

及

可取

∵平面的法向量可取為，

∴銳二面角的余弦值為，

∴二面角的大小為．                                 12分.

考點：空間位置關(guān)系、二面角、平面向量.

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

18、如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD是正三角形，且與底面ABCD垂直，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，N是PB中點，過A、N、D三點的平面交PC于M．
（1）求證：DP∥平面ANC；
（2）求證：M是PC中點；
（3）求證：平面PBC⊥平面ADMN．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD是正三角形，且與底面ABCD垂直，底面ABCD是邊長為4的菱形，且∠BAD=60°，N是PB的中點，過A，D，N的平面交PC于M，E是AD的中點．
（1）求證：BC⊥平面PEB；
（2）求證：M為PC的中點．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在四棱錐中，側(cè)面

是正三角形，且與底面垂直，底面是邊長為2的菱形，，是中點，過、、三點的平面交于． 

(1)求證：；   (2)求證：是中點；(3)求證：平面⊥平面.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

(本小題滿分12分)

如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，為的中點。

   （1）點在線段上，，

試確定的值，使平面；

   （2）在（1）的條件下，若平面平

面ABCD，求二面角的大小。

 

 

 

 

 

 

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

(本小題滿分12分)

如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，為的中點。

   （1）點在線段上，，

試確定的值，使平面；

   （2）在（1）的條件下，若平面平

面ABCD，求二面角的大小。

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