Question

12．已知sinθ-cosθ=$\frac{1}{2}$，θ∈（0，π），則tanθ=$\frac{4+\sqrt{7}}{3}$．

Answer 1

分析 把已知等式兩邊平方，利用完全平方公式及同角三角函數(shù)間基本關(guān)系化簡(jiǎn)，求出sinθ+cosθ的值，與已知等式聯(lián)立求出sinθ與cosθ的值，即可確定出tanθ的值．

解答 解：對(duì)sinθ-cosθ=$\frac{1}{2}$①，平方得1-2sinθcosθ=$\frac{1}{4}$，即2sinθcosθ=$\frac{3}{4}$，
由θ∈（0，π），知θ∈（0，$\frac{π}{2}$），
∵（sinθ+cosθ）²=1+2sinθcosθ=$\frac{7}{4}$，
∴sinθ+cosθ=$\frac{\sqrt{7}}{2}$②，
聯(lián)立①②，解得：sinθ=$\frac{\sqrt{7}+1}{4}$，cosθ=$\frac{\sqrt{7}-1}{4}$，
則tanθ=$\frac{4+\sqrt{7}}{3}$，
故答案為：$\frac{4+\sqrt{7}}{3}$

點(diǎn)評(píng) 此題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．