Question

7．已知函數(shù)f（x）=2sinxcosx-2sin²x
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）設(shè)△△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊記作a、b、c，且滿足f（A）=0，c=1，b=$\sqrt{2}$，求△△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用二倍角公式和兩角和的正弦公式，化簡(jiǎn)f（x），再由周期公式，即可得到；
（2）由A的范圍，結(jié)合條件f（A）=0，求得A，再由三角形的面積公式，計(jì)算即可得到所求．

解答 解：（1）f（x）=2sinxcosx-2sin²x
=sin2x-（1-cos2x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）-1，
故函數(shù)f（x）的最小正周期為T=π；
（2）由f（A）=0，即有$\sqrt{2}$sin（2A+$\frac{π}{4}$）-1=0，
即sin（2A+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
而A∈（0，π），即有2A+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{9π}{4}$），
則2A+$\frac{π}{4}$=$\frac{3π}{4}$，
故A=$\frac{π}{4}$，
由c=1，b=$\sqrt{2}$，
故△ABC的面積為S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×$$\sqrt{2}$×sin$\frac{π}{4}$=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和求值，二倍角公式和兩角和的正弦公式的運(yùn)用，考查正弦函數(shù)的周期公式和特殊角的三角函數(shù)值，同時(shí)考查三角形的面積公式的運(yùn)用，屬于中檔題．