Question

設(shè)f(x)=

1

2

x2+ax+

e3

ex

．
（1）若x∈(

3

2

，+∞)時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
（2）討論方程f（x）+|lnx|-ax-b=0的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用,函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，當(dāng)x∈(

3

2

，+∞)時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，說(shuō)明當(dāng)x∈(

3

2

，+∞)時(shí)，
f′(x)=x+a-

e3

ex

＞0，即a＞

e3

ex

-x在x∈(

3

2

，+∞)恒成立，又函數(shù)g(x)=

e3

ex

-x在x∈(

3

2

，+∞)上遞減，∴a≥g(

3

2

)=-

3

2

；
（2）將方程化為

1

2

x2+

e3

ex

+|lnx|=b，令h(x)=

1

2

x2+

e3

ex

+|lnx|，利用導(dǎo)數(shù)求出h（x）的單調(diào)區(qū)間，討論h（x）的取值，當(dāng)x→0時(shí)，h（x）→+∞，當(dāng)x→+∞時(shí)，h（x）→+∞，∴當(dāng)b＜

1

2

+e

1

2

時(shí)，方程無(wú)解，當(dāng)b=

1

2

+e

1

2

時(shí)，方程有一根，當(dāng)b＞

1

2

+e

1

2

時(shí)，方程有兩根．

解答： 解：（1）∵f(x)=

1

2

x2+ax+

e3

ex

，∴f′(x)=x+a-

e3

ex

，
∵當(dāng)x∈(

3

2

，+∞)時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，∴當(dāng)x∈(

3

2

，+∞)時(shí)，f′(x)=x+a-

e3

ex

＞0，
∴a＞

e3

ex

-x，函數(shù)g(x)=

e3

ex

-x 在x∈(

3

2

，+∞)上遞減，∴a≥g(

3

2

)=-

3

2

；
（2）方程f（x）+|lnx|-ax-b=0，∴

1

2

x2+

e3

ex

+|lnx|=b，
令h(x)=

1

2

x2+

e3

ex

+|lnx|，
①當(dāng)x＞1時(shí)，h′(x)=x-

e3

ex

+

1

x

，
∵x+

1

x

≥2，

e3

ex

≤

e

＜2，∴h′（x）＞0，
即h（x）在（1，+∞）上遞增．
②當(dāng)0＜x≤1時(shí)，h′(x)=x-

e3

ex

-

1

x

，
∵x-

1

x

＜0，

e3

ex

＞0，∴h′（x）＜0，
即h（x）在（0，1]上遞減．
∵h(1)=

1

2

+e

1

2

，
當(dāng)x→0時(shí)，h(x)=

1

2

x2+

e3

ex

+|lnx|→+∞，
當(dāng)x→+∞時(shí)，h(x)=

1

2

x2+

e3

ex

+|lnx|→+∞，
∴當(dāng)b＜

1

2

+e

1

2

時(shí)，方程無(wú)解，
當(dāng)b=

1

2

+e

1

2

時(shí)，方程有一根，
當(dāng)b＞

1

2

+e

1

2

時(shí)，方程有兩根．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)與原函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，訓(xùn)練了函數(shù)的零點(diǎn)的判斷方法，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是高考試卷中的壓軸題．