Question

已知圓C：x²+y²+Dx-6y+1=0上有兩點(diǎn)P、Q關(guān)于直線(xiàn)x-y+4=0對(duì)稱(chēng)．
（1）求圓C的半徑；
（2）若OP⊥OQ，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求PQ方程；
（3）直線(xiàn)l：（2m-1）x-（m-1）y+8m-6=0被圓C截得弦長(zhǎng)最短時(shí)，求m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓相交的性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題,直線(xiàn)與圓

分析：（1）圓C：x²+y²+Dx-6y+1=0上有兩點(diǎn)P、Q關(guān)于直線(xiàn)x-y+4=0對(duì)稱(chēng)，說(shuō)明直線(xiàn)過(guò)圓心，易求D的值，然后求出圓的半徑；
（2）設(shè)P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），PQ方程為y=-x+b．聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理，以及OP⊥OQ，求得k的方程，然后求直線(xiàn)PQ的方程．
（3）直線(xiàn)l被圓C截得的弦最長(zhǎng)時(shí)，圓心（-1，3）在直線(xiàn)l上，圓C截得的弦為直徑；當(dāng)圓心C（-1，3）與A（3，1）的連線(xiàn)與l垂直時(shí)，直線(xiàn)l被圓C截得的弦最短，由此可得結(jié)論．

解答： 解：（1）圓C：x²+y²+Dx-6y+1=0，圓心為（-

D

2

，3）．
∵點(diǎn)P、Q在圓上且關(guān)于直線(xiàn)x-y+4=0對(duì)稱(chēng)，
∴圓心（-

D

2

，3）在直線(xiàn)上．代入得D=2．
圓C：x²+y²+2x-6y+1=0，即圓C：（x+1）²+（y-3）²=9，
∴圓C半徑為：3．
（2）∵直線(xiàn)PQ與直線(xiàn)x-y+4=0垂直，
∴設(shè)P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），PQ方程為y=-x+b．
將直線(xiàn)y=-x+b代入圓方程，x²+（-x+b）²+2x-6（-x+b）+1=0，得2x²+2（4-b）x+b²-6b+1=0．
△=4（4-b）²-4×2×（b²-6b+1）＞0，得2-3＜b＜2+3．
由韋達(dá)定理得x₁+x₂=-（4-b），x₁•x₂=

b2-6b+1

2

．
y₁•y₂=b²-b（x₁+x₂）+x₁•x₂=

b2-6b+1

2

+4b．
∵OP⊥OQ，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
即b²-6b+1+4b=0．
解得b=1∈（2-3，2+3）．
∴所求的直線(xiàn)方程為y=-x+1．
（3）解：直線(xiàn)l：（2m-1）x-（m-1）y+8m-6=0，即：m（2x-y+8）+（-x+y-6）=0，恒過(guò)（-2，4）點(diǎn)，被圓C截得的弦最長(zhǎng)時(shí)，圓心（-1，3）在直線(xiàn)l上，圓C截得的弦為直徑；當(dāng)圓心C（-1，3）與A（-2，4）的連線(xiàn)與所求截距所在直線(xiàn)垂直時(shí)，直線(xiàn)l被圓C截得的弦最短
∵CA=

(-1+2)2+(3-4)2

=

2

，圓的半徑為3，
∴直線(xiàn)l被圓C截得的弦最短的弦長(zhǎng)為2

32-( 2 )2

=2

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與圓的方程的應(yīng)用，直線(xiàn)的一般式方程，考查直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，函數(shù)與方程的思想，是中檔題．