Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2．以BD的中點(diǎn)O為球心、BD為直徑的球面交PD于點(diǎn)M．
（1）求證：PD⊥平面ABM；
（2）求直線PC與平面ABM所成的角的正切．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定,直線與平面所成的角

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由已知得M在以BD為直徑的球面上，BM⊥PD，PA⊥AB，又AB⊥AD，從而AB⊥平面PAD，由此能證明PD⊥平面ABM．
（2）設(shè)平面ABM與PC交于點(diǎn)N，由已知得AB∥平面PCD，從而AB∥MN∥CD，由MN是PN在平面ABM上的射影，得∠PNM就是PC與平面ABM所成的角，由此能求出直線PC與平面ABM所成的角的正切值．

解答： （1）證明：依題設(shè)，M在以BD為直徑的球面上，則BM⊥PD．
因?yàn)镻A⊥平面ABCD，
則PA⊥AB，又AB⊥AD，AD∩PA=A，
所以AB⊥平面PAD，
則AB⊥PD，AB∩BM=B，
因此有PD⊥平面ABM．
（2）解：設(shè)平面ABM與PC交于點(diǎn)N，
因?yàn)锳B∥CD，所以AB∥平面PCD，
則AB∥MN∥CD，
由（1）知，PD⊥平面ABM，則MN是PN在平面ABM上的射影，
所以∠PNM就是PC與平面ABM所成的角，
且∠PNM=∠PCD，
tan∠PNM=tan∠PCD=

PD

DC

=2

2

．
故直線PC與平面ABM所成的角的正切值為2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，考查直線與平面所成角的正切值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．