Question

已知直線l交橢圓

x2

20

+

y2

16

=1于M、N兩點(diǎn)，橢圓與y軸的正半軸交于B點(diǎn)，若△MBN的重心恰好落在橢圓的右焦點(diǎn)上，則直線l方程為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：利用重心坐標(biāo)公式求出弦MN的中點(diǎn)，利用點(diǎn)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）在橢圓上，利用點(diǎn)差法，求出斜率，即可求出直線l方程．

解答： 解：設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
又B（0，4），F(xiàn)（2，0），由重心坐標(biāo)得

0+x1+x2

3

=2，

4+y1+y2

3

=0
所以弦MN的中點(diǎn)為（3，-2）．
因?yàn)辄c(diǎn)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）在橢圓上，所以

4x12+5y12=80 4x22+5y22=80

，作差得4（x₁+x₂）（x₁-x₂）+5（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
將①和②代入得k=

y1-y2

x1-x2

=

6

5

，
所以，直線l為：y+2=

6

5

（x-3），即6x-5y-28=0．
故答案為：6x-5y-28=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線l方程，考查點(diǎn)差法，考查重心坐標(biāo)公式，屬于中檔題．