Question

已知函數(shù)f（x）=

lnx

x

（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
（1）求函數(shù)f（x）的極值；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=x²f（x）-mx，其中m∈R，求g（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求函數(shù)f（x）=

lnx

x

的定義域（0，+∞），再求導(dǎo)f′（x）=

1-lnx

x2

，從而判斷單調(diào)性及極值；
（2）化簡(jiǎn)g（x）=x²f（x）-mx=xlnx-mx，從而得到g′（x）=lnx+1-m；從而討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)以確定函數(shù)的單調(diào)性，從而求最小值．

解答： 解：（1）∵f（x）=

lnx

x

的定義域?yàn)椋?，+∞），
∴f′（x）=

1-lnx

x2

，
x∈（0，e）時(shí)，f′（x）＞0，x∈（e，+∞）時(shí)，f′（x）＜0；
故f（x）在（0，e）上是增函數(shù)，在（e，+∞）上是減函數(shù)，
故f（x）在x=e上有極大值f（e）=

1

e

；
（2）g（x）=x²f（x）-mx=xlnx-mx；
g′（x）=lnx+x•

1

x

-m=lnx+1-m；
若1-m≤-1，即m≥2時(shí)，
當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，g′（x）≤0；
故g（x）在[1，e]上是減函數(shù)，
故g_min（x）=g（e）=e-me；
若-1＜1-m＜0，即1＜m＜2時(shí)，
當(dāng)x∈[1，e^m-1]時(shí)，g′（x）≤0，當(dāng)x∈[e^m-1，e]時(shí)，g′（x）＞0；
故g（x）在x=e^m-1處取得最小值g_min（x）=g（e^m-1）=-e^m-1；
若1-m≥0，即m≤1時(shí)，
當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，g′（x）≥0；
故g（x）在[1，e]上是增函數(shù)，
故g_min（x）=g（1）=-m；
故g（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值為
g_min（x）=

e-me，m≥2 -em-1，1＜m＜2 -m，m≤1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及分段函數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題．