Question

 

已知，函數(shù)在[1，＋∞）上是一個單調(diào)函數(shù)。

（1）試問函數(shù)在的條件下，在[1，＋∞）上能否是單調(diào)遞減函數(shù)？請說明理由；

（2）若在區(qū)間[1，＋∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，試求出實數(shù)的取值范圍；

（3）設(shè)，1且，求證：。

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 （1）

若在[1，＋∞）上是單調(diào)遞減函數(shù)，則須，即

這樣的實數(shù)不存在，故在[1，＋∞）上不可能是單調(diào)遞減函數(shù)。

（2）若在[1，＋∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，則

由于，故，從而

（3）證法一：由（1）、（2）可知在[1，＋∞）上只能是單調(diào)增函數(shù)。

若，則矛盾；

若，則，即矛盾；

故只有成立。

證法二：設(shè)，則，∴，

兩式相減得

∴

∵，，∴

又，∴

∴，即，亦即，證畢。