Question

已知a為常數(shù)，函數(shù)f（x）=ln（

1+x2

+x）+ax．
（1）若a≥0，求證：函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)是增函數(shù)；
（2）若a＜0，試求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）先證明函數(shù)的定義域?yàn)镽，再利用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f′（x），最后由已知a≥0證明f′（x）＞0即可得證
（2）由（1）可知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，通過(guò)解不等式f′（x）＜0即可的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，但由于此不等式中含參數(shù)，故需對(duì)參數(shù)a的范圍進(jìn)行討論

解答：解：（1）證明∵

1+x2

＞|x|，∴函數(shù)定義域?yàn)镽
∵f′（x）=

( 1+x2 +x)′

1+x2 +x

+a=

( 1+x2 )′+1

1+x2 +x

+a=

x 1+x2 +1

1+x2 +x

+a=

1

1+x2

+a
∵a≥0，∴f′（x）＞0
∴函數(shù)f（x）在其定義域R內(nèi)是增函數(shù)
（2）解：∵f′（x）=

1

1+x2

+a  且a＜0
∴f′（x）＜0?x2＞

1-a2

a2

①當(dāng)a≤-1時(shí)，f′（x）≤0恒成立且不恒等于零，故函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，+∞）
②當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，原函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，

1-a2

a

），（-

1-a2

a

，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題考察了導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)方法，證明函數(shù)單調(diào)性和求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法