Question

（2013•湖北）已知a為常數(shù)，函數(shù)f（x）=x（lnx-ax）有兩個極值點x₁，x₂（x₁＜x₂）（　�。�

• A．f(x1)＞0，f(x2)＞-

  1

  2

• B．f(x1)＜0，f(x2)＜-

  1

  2

• C．f(x1)＞0，f(x2)＜-

  1

  2

• D．f(x1)＜0，f(x2)＞-

  1

  2

Answer 1

分析：先求出f^′（x），令f^′（x）=0，由題意可得lnx=2ax-1有兩個解x₁，x₂?函數(shù)g（x）=lnx+1-2ax有且只有兩個零點?g^′（x）在（0，+∞）上的唯一的極值不等于0．利用導數(shù)與函數(shù)極值的關系即可得出．

解答：解：∵f′(x)=lnx-ax+x(

1

x

-a)=lnx+1-2ax，（x＞0）
令f^′（x）=0，由題意可得lnx=2ax-1有兩個解x₁，x₂?函數(shù)g（x）=lnx+1-2ax有且只有兩個零點?g^′（x）在（0，+∞）上的唯一的極值不等于0．
g′(x)=

1

x

-2a=

1-2ax

x

．
①當a≤0時，g′（x）＞0，f^′（x）單調(diào)遞增，因此g（x）=f^′（x）至多有一個零點，不符合題意，應舍去．
②當a＞0時，令g^′（x）=0，解得x=

1

2a

，
∵x∈(0，

1

2a

)，g^′（x）＞0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增；x∈(

1

2a

，+∞)時，g^′（x）＜0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞減．
∴x=

1

2a

是函數(shù)g（x）的極大值點，則g(

1

2a

)＞0，即ln

1

2a

+1-1=-ln(2a)＞0，∴l(xiāng)n（2a）＜0，∴0＜2a＜1，即0＜a＜

1

2

．
∵0＜x1＜

1

2a

＜x2，f^′（x₁）=lnx₁+1-2ax₁=0，f^′（x₂）=lnx₂+1-2ax₂=0．
且f（x₁）=x₁（lnx₁-ax₁）=x₁（2ax₁-1-ax₁）=x₁（ax₁-1）＜

1

2a

(

1

2a

×a-1)=-

1

2a

＜0，
f（x₂）=x₂（lnx₂-ax₂）=x₂（ax₂-1）＞1×(a×

1

2a

-1)=-

1

2

．（

1

2a

＞1）．
故選D．

點評：熟練掌握利用導數(shù)研究函數(shù)極值的方法是解題的關鍵．