設(shè)P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是函數(shù)f(x)=
2x
2x+
2
圖象上的兩點，且
OP
=
1
2
(
OP1
+
OP2
)，點P的橫坐標為
1
2
．
（1）求證：P點的縱坐標為定值，并求出這個定值；
（2）若Sn=
n
i=1
f(
i
n
)，n∈N*，求Sn；
（3）記Tn為數(shù)列{
1
(Sn+
2
)(Sn+1+
2
)
}的前n項和，若Tn＜a(Sn+1+
2
)對一切n∈N*都成立，試求a的取值范圍．
①an-1+1=
an
n
；
②(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)(1+
1
a3
)…(1+
1
an
)≤3-
1
n
分析：（1）由
OP
=
1
2
(
OP1
+
OP2
)得到P是P1P2的中點?x1+x2=1?y1+y2=1得到y(tǒng)p即可；
（2）由（1）知x1+x2=1，f（x1）+f（x2）=y1+y2=1，而Sn=f(
1
n
) +f(
2
n
) +…+f(
n-1
n
) +f(
n
n
)能寫成Sn=f(
n
n
) +f(
n-1
n
)+…+f(
2
n
)  +f(
1
n
)，兩者相加可得Sn；
（3）先表示Tn的同項公式，求出之和，根據(jù)Tn＜a(Sn+1+
2
)利用基本不等式求出a的取值范圍即可．
解答：解：（1）∵
OP
=
1
2
(
OP1
+
OP2
)，
∴P是P1P2的中點?x1+x2=1y1+y2=f(x1)+f(x2)=
2x1
2x1+
2
+
2x2
2x2+
2
=
2x1
2x1+
2
+
21-x1
21-x1+
2
=
2X1
2X1+
2
+
2
2X1+
2
=1
∴yp=
1
2
(y1+y2)=
1
2

（2）由（1）知x1+x2=1，f（x1）+f（x2）=y1+y2=1，f(1)=2-
2
，Sn=f(
1
n
) +f(
2
n
) +…+f(
n-1
n
) +f(
n
n
)，Sn=f(
n
n
) +f(
n-1
n
)+…+f(
2
n
)  +f(
1
n
)
相加得2Sn=f(n)+[f(
1
n
)+f(
n-1
n
)] +[f(
2
n
)+f(
n-2
n
)]+…+[f(
n-1
n
)+f(
1
n
)] +f(1)=2f（1）+1+1+…+1=n+3-2
2
（n-1個1）
∴Sn=
n+3-2
2
2

（3）
1
(Sn+
2
)(Sn+1+
2
)
=
1
n+3
2
•
n+4
2
=
4
(n+3)(n+4)
=4(
1
n+3
-
1
n+4
)
Tn=4[(
1
4
-
1
5
)+(
1
5
-
1
6
)+…+(
1
n+3
-
1
n+4
)] =
n
n+4

Tn＜a(Sn+1+
2
)?a＞
Tn
Sn+1+
2
=
2n
(n+4)2
=
2
n+
16
n
+8

∵n+
16
n
≥8，當(dāng)且僅當(dāng)n=4時，取“=”
∴
2
n+
16
n
+8
≤
2
8+8
=
1
8
，因此，a＞
1
8
點評：考查學(xué)生運用數(shù)列及數(shù)列求和的能力，理解掌握指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的能力，以及會用基本不等式證明的能力．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f是直角坐標平面xOy到自身的一個映射，點P在映射f下的象為點Q，記作Q=f（P）．設(shè)P1（x1，y1），P2=f（P1），P3=f（P2），…，Pn=f（Pn-1），…．如果存在一個圓，使所有的點Pn（xn，yn）（n∈N*）都在這個圓內(nèi)或圓上，那么稱這個圓為點Pn（xn，yn）的一個收斂圓．特別地，當(dāng)P1=f（P1）時，則稱點P1為映射f下的不動點．若點P（x，y）在映射f下的象為點Q(-x+1，
12
y)．
（Ⅰ）求映射f下不動點的坐標；
（Ⅱ）若P1的坐標為（2，2），求證：點Pn（xn，yn）（n∈N*）存在一個半徑為2的收斂圓．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)P1（x1，y1），P1（x2，y2），…，Pn（xn，yn）（n≥3，n∈N）是二次曲線C上的點，且a1=|OP1|2，a2=|OP2|2，…，an=|OPn|2構(gòu)成了一個公差為d（d≠0）的等差數(shù)列，其中O是坐標原點．記Sn=a1+a2+…+an．
（1）若C的方程為
x2
100
+
y2
25
=1，n=3．點P1（10，0）及S3=255，求點P3的坐標；（只需寫出一個）
（2）若C的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）．點P1（a，0），對于給定的自然數(shù)n，當(dāng)公差d變化時，求Sn的最小值；
（3）請選定一條除橢圓外的二次曲線C及C上的一點P1，對于給定的自然數(shù)n，寫出符合條件的點P1，P2，…Pn存在的充要條件，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)P1（x1，y1），P1（x2，y2），…，Pn（xn，yn）（n≥3，n∈N） 是二次曲線C上的點，且a1=|OP1|2，a2=|OP2|2，…，an=|OPn|2構(gòu)成了一個公差為d（d≠0） 的等差數(shù)列，其中O是坐標原點．記Sn=a1+a2+…+an．
（1）若C的方程為
x2
9
-y2=1，n=3．點P1（3，0） 及S3=162，求點P3的坐標；（只需寫出一個）
（2）若C的方程為y2=2px（p≠0）．點P1（0，0），對于給定的自然數(shù)n，證明：（x1+p）2，（x2+p）2，…，（xn+p）2成等差數(shù)列；
（3）若C的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）．點P1（a，0），對于給定的自然數(shù)n，當(dāng)公差d變化時，求Sn的最小值．
符號意義 本試卷所用符號 等同于《實驗教材》符號
向量坐標
a
={x，y}
a
=（x，y）
正切 tg tan

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
a•2x
2x+
2
的圖象過點(0，
2
-1)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）設(shè)P1（x1，y1），P2（x2，y2）為y=f（x）的圖象上兩個不同點，又點P（xP，yP）滿足：
OP
=
1
2
(
OP1
+
OP2
)，其中O為坐標原點．試問：當(dāng)xP=
1
2
時，yP是否為定值？若是，求出yP的值，若不是，請說明理由．

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同步練習(xí)冊答案