Question

8．關于x的方程$x+m=3-\sqrt{4x-{x^2}}$有且只有一個實根，則實數m的取值范圍是-1＜m≤3或m=1-2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 問題轉化為函數y=$\sqrt{4x-{x}^{2}}$與函數y=3-m-x的圖象有且只有一個交點，作圖求解即可．

解答 解：∵關于x的方程$x+m=3-\sqrt{4x-{x^2}}$有且只有一個實根，
∴函數y=$\sqrt{4x-{x}^{2}}$與函數y=3-m-x的圖象有且只有一個交點，
作函數y=$\sqrt{4x-{x}^{2}}$與函數y=3-m-x的圖象如下，

結合圖象可知，
0≤3-m＜4或3-m=2$\sqrt{2}$+2，
即-1＜m≤3或m=1-2$\sqrt{2}$；
故答案為：-1＜m≤3或m=1-2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了函數的圖象與方程的根的關系應用及數形結合的思想應用，屬于中檔題．