Question

18．若函數f（x）是定義R上的增函數，切滿足f（1）=0，f（a）+f（b）=f（a+b）-1，那么f（2）=1，關于x的不等式f（x²-1）+f（1-x）＞0的解集是（-∞，-1）∪（2，+∞）．

Answer 1

分析 先利用賦值法，令a=b=1，則f（1）+f（1）=f（2）-1，求出f（2）=1，f（x²-1）+f（1-x）＞0等價于f（x²-x）＞f（2），根據函數的單調性，得到x的不等式，解得即可．

解答 解：∵f（1）=0，f（a）+f（b）=f（a+b）-1
令a=b=1，則f（1）+f（1）=f（2）-1，
∴f（2）=1，
∴f（x²-1）+f（1-x）=f（x²-1+1-x）-1=f（x²-x）-1，
∵f（x²-1）+f（1-x）＞0，
∴f（x²-x）-1＞0，
∴f（x²-x）＞f（2），
∵函數f（x）是定義R上的增函數，
∴x²-x＞2，
解得x＞2或x＜-1，
故關于x的不等式f（x²-1）+f（1-x）＞0的解集是（-∞，-1）∪（2，+∞），
故答案為：（-∞，-1）∪（2，+∞）．

點評 本題考查了抽象函數的問題，常采用數賦值法，根據函數的單調性得到不等式，解得即可，屬于中檔題．