Question

函數(shù)f（x）的定義域為A，若x₁，x₂∈A且f（x₁）=f（x₂）時總有x₁=x₂，則稱f（x）為單函數(shù)．例如，函數(shù)f（x）=2x+1（x∈R）是單函數(shù)，下列四個結論：
①函數(shù)f（x）=tanx（x≠kπ+

π

2

，k∈Z）是單函數(shù)；
②指數(shù)函數(shù)f（x）=2^x（x∈R）是單函數(shù)；
③若f（x）為單函數(shù)，x₁，x₂∈A且x₁≠x₂，則f（x₁）≠f（x₂）；
④在定義域上具有單調性的函數(shù)一定是單函數(shù)．
上述四個結論中正確的有

②③④

．（寫出所有正確結論的序號）

Answer 1

分析：由題意單函數(shù)的實質是一對一的映射，而單調的函數(shù)也是一對一的映射，據此可逐個判斷．

解答：解：①函數(shù)f（x）=tanx（x≠kπ+

π

2

，k∈Z）不是單函數(shù)，例如f（

π

6

）=f（

7π

6

），顯然不會有

π

6

和

7π

6

相等，故為假命題；
②指數(shù)函數(shù)f（x）=2^x（x∈R）是單函數(shù)，因為指數(shù)函數(shù)f（x）=2^x（x∈R）是實數(shù)上的單調函數(shù)，也是一一映射函數(shù)，故為真命題；
③若f（x）為單函數(shù)，x₁，x₂∈A且x₁≠x₂，則f（x₁）≠f（x₂）為真，
可用反證法證明：假設f（x₁）=f（x₂），則按定義應有x₁=x₂，與已知中的x₁≠x₂矛盾；
④在定義域上具有單調性的函數(shù)一定是單函數(shù)為真，因為單函數(shù)的實質是一對一的映射，而單調的函數(shù)也是，故為真．
故答案為：②③④．

點評：本題為新定義，準確理解單函數(shù)并把它跟已知函數(shù)的性質聯(lián)系起來是解決問題的關鍵，屬基礎題．