Question

9．在數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a₂=$\frac{2}{3}$，a_na_n+1+a_na_n-1=2a_n-1a_n+1，則a_n=$\frac{2}{2n-1}$．

Answer 1

分析 通過對a_na_n+1+a_na_n-1=2a_n-1a_n+1整理、變形可知$\frac{1}{{a}_{n-1}}$+$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{{a}_{n}}$，利用a₁=2、a₂=$\frac{2}{3}$可知數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是首項為$\frac{1}{2}$、公差為1的等差數(shù)列，進而計算可得結(jié)論．

解答 解：∵a_na_n+1+a_na_n-1=2a_n-1a_n+1，
∴a_na_n+1-a_n-1a_n+1=a_n-1a_n+1-a_na_n-1，
∴a_n+1（a_n-a_n-1）=a_n-1（a_n+1-a_n），
∴$\frac{{a}_{n}-{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{{a}_{n+1}-{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$，即$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$+$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$=2，
∴$\frac{1}{{a}_{n-1}}$+$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{{a}_{n}}$，
又∵$\frac{1}{{a}_{2}}$-$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$=1，$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是首項為$\frac{1}{2}$、公差為1的等差數(shù)列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$+（n-1）=$\frac{2n-1}{2}$，
∴a_n=$\frac{2}{2n-1}$，
故答案為：$\frac{2}{2n-1}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式，考查運算求解能力，對表達式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．