【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,AB∥DC,AB⊥AD,AB=3,CD=2,PD=AD=5.
(1)在PD上確定一點(diǎn)E,使得PB∥平面ACE,并求 的值;
(2)在(1)條件下,求平面PAB與平面ACE所成銳二面角的余弦值.
【答案】
(1)解:連接BD交AC于O,
在△PBD中,過(guò)O作OE∥BP交PD于E,
∵OE平面ACE,PB平面ACE,
∴PB∥平面ACE,
∵AB=3,CD=2,∴
(2)解:以D為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則A(5,0,0),C(0,2,0),D(0,0,0),E(0,0,2),P(0,0,5),
=(5,﹣2,0), =(0,﹣2,2),
設(shè)平面ACE的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),
則 ,即 ,
令z=5,則x=2,y=5,∴n=(2,5,5)
取PA的中點(diǎn)為F,連接DF,∵AD=PD,∴DF⊥PA,
又AB⊥平面PAD,∴AB⊥DF,則DF⊥平面PAB,
即 =( ,0, )是平面PAB的一個(gè)法向量,
∴cos< >= = = ,
∴平面PAB與平面ACE所成銳二面角的余弦值為 .
【解析】(1)連接BD交AC于O,過(guò)O作OE∥BP交PD于E,推導(dǎo)出PB∥平面ACE,由此能求出 的值.(2)以D為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出平面PAB與平面ACE所成銳二面角的余弦值.
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用直線與平面平行的判定,掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡(jiǎn)記為:線線平行,則線面平行即可以解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某批發(fā)市場(chǎng)對(duì)某種商品的日銷售量(單位:噸)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),最近50天的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下:
若以上表中頻率作為概率,且每天的銷售量相互獨(dú)立.
(1)求5天中該種商品恰好有兩天的日銷售量為1.5噸的概率;
(2)已知每噸該商品的銷售利潤(rùn)為2千元, 表示該種商品某兩天銷售利潤(rùn)的和(單位:千元),求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐PABC中,PA⊥底面ABC,∠BAC=90°.點(diǎn)D,E,N分別為棱PA,PC,BC的中點(diǎn),M是線段AD的中點(diǎn),PA=AC=4,AB=2.
(1)求證:MN∥平面BDE;
(2)求二面角CEMN的正弦值;
(3)已知點(diǎn)H在棱PA上,且直線NH與直線BE所成角的余弦值為,求線段AH的長(zhǎng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知某海濱浴場(chǎng)海浪的高度y(米)是時(shí)間t的(0≤t≤24,單位:小時(shí))函數(shù),記作y=f(t),下表是某日各時(shí)的浪高數(shù)據(jù):
t(h) | 0 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 |
y(m) | 1.5 | 1.0 | 0.5 | 1.0 | 1.5 | 1.0 | 0.5 | 0.99 | 1.5 |
經(jīng)長(zhǎng)期觀測(cè),y=f(t)的曲線可近似地看成是函數(shù)y=Acosωt+b的圖象.
(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù),求出函數(shù)y=Acosωt+b的最小正周期T、振幅A及函數(shù)表達(dá)式;
(2)依據(jù)規(guī)定,當(dāng)海浪高度高于1米時(shí)才對(duì)沖浪愛好者開放,請(qǐng)依據(jù)(1)的結(jié)論,判斷一天內(nèi)的上午8時(shí)到晚上20時(shí)之間,有多長(zhǎng)時(shí)間可供沖浪者進(jìn)行運(yùn)動(dòng)?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知冪函數(shù)f(x)=mxα的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,2).
(1)試比較2ln f(3)與3ln f(2)的大。
(2)定義在R上的函數(shù)g(x)滿足g(-x)=g(x), g(4+x)=g(4-x),且當(dāng)x∈[0,4]時(shí),
. 若關(guān)于x的不等式g 2(x)+ng(x)>0在[-200,200]上有且只有151個(gè)整數(shù)解,求實(shí)數(shù)n的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,則_____.
【答案】
【解析】
分子分母同時(shí)除以,把目標(biāo)式轉(zhuǎn)為的表達(dá)式,代入可求.
,則
故答案為:.
【點(diǎn)睛】
本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值,常用方法:(1)弦切互化法:主要利用公式, 形如等類型可進(jìn)行弦化切;(2)“1”的靈活代換和的關(guān)系進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化.
【題型】填空題
【結(jié)束】
15
【題目】如圖,正方體的棱長(zhǎng)為1,為中點(diǎn),連接,則異面直線和所成角的余弦值為_____.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)P是橢圓 在第一象限上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P引圓x2+y2=4的兩條切線PA、PB,切點(diǎn)分別是A、B,直線AB與x軸、y軸分別交于點(diǎn)M、N,則△OMN面積的最小值為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知曲線C: =1(y≥0),直線l:y=kx+1與曲線C交于A,D兩點(diǎn),A,D兩點(diǎn)在x軸上的射影分別為點(diǎn)B,C.記△OAD的面積S1 , 四邊形ABCD的面積為S2 . (Ⅰ)當(dāng)點(diǎn)B坐標(biāo)為(﹣1,0)時(shí),求k的值;
(Ⅱ)若S1= ,求線段AD的長(zhǎng);
(Ⅲ)求 的范圍.
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