Question

【題目】已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）若點(diǎn)、在橢圓上，且四邊形是矩形，求矩形的面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）矩形面積的最大值為.

【解析】

（1）由橢圓過(guò)點(diǎn)，且離心率為，得到，，進(jìn)而可求出結(jié)果；

（2）先由題意知直線(xiàn)不垂直于軸，設(shè)直線(xiàn)，聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程，設(shè)，，根據(jù)韋達(dá)定理和題中條件可求出；再求出的最大值即可得出結(jié)果.

解：（1）因?yàn)闄E圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且離心率為，

所以，，又因?yàn)?/span>，

可解得，，焦距為.

所求橢圓的方程為.

（2）由題意知直線(xiàn)不垂直于軸，可設(shè)直線(xiàn)，

由得，

設(shè)，，則，

又因?yàn)?/span>，，

所以

化簡(jiǎn)可得.

所以

設(shè)，，則，

所以.

令，因?yàn)?/span>

所以在上單調(diào)遞減，所以.

設(shè)直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，

因?yàn)榫匦?/span>面積

所以矩形面積的最大值為.

此時(shí)直線(xiàn).