Question

14．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$，（α為參數(shù)），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=4$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求曲線C₁的普通方程與曲線C₂的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)P為曲線C₁上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到C₂上點(diǎn)的距離的最小值．

Answer 1

分析 （I）曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$，（α為參數(shù)），利用平方關(guān)系可得普通方程．曲線C₂的極坐標(biāo)方程為
ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=4$\sqrt{2}$，展開(kāi)利用互化公式即可得出．
（II）設(shè)P$（\sqrt{3}cosα，sinα）$，點(diǎn)P到C₂上點(diǎn)的距離的最小值=$\frac{|\sqrt{3}cosα+sinα-8|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|2sin（α+\frac{π}{3}）-8|}{\sqrt{2}}$，利用三角函數(shù)的單調(diào)性與值域即可得出．

解答 解：（I）曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$，（α為參數(shù)），利用平方關(guān)系可得：$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1．
曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=4$\sqrt{2}$，展開(kāi)可得：$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρ（cosθ+sinθ）=4$\sqrt{2}$，
化為直角坐標(biāo)方程：x+y-8=0．
（II）設(shè)P$（\sqrt{3}cosα，sinα）$，
點(diǎn)P到C₂上點(diǎn)的距離的最小值=$\frac{|\sqrt{3}cosα+sinα-8|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|2sin（α+\frac{π}{3}）-8|}{\sqrt{2}}$
≥$\frac{6}{\sqrt{2}}$=3$\sqrt{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)$sin（α+\frac{π}{3}）$=1時(shí)取等號(hào)．
∴點(diǎn)P到C₂上點(diǎn)的距離的最小值為3$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程的應(yīng)用、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、點(diǎn)到直線的距離公式、三角函數(shù)的單調(diào)性與值域，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．