Question

10．已知函數(shù)f（x）=ln$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2}$，g（x）=e^x-2，對于?a∈R，?b∈（0，+∞）使得g（a）=f（b）成立，則b-a的最小值為（　�。�

• A． ln2
• B． -ln2
• C． $2\sqrt{e}-3$
• D． e²-3

Answer 1

分析 不妨設(shè)g（a）=f（b）=m，從而可得b-a=2•${e}^{m-\frac{1}{2}}$-lnm-2，（m＞0）；再令h（m）=2•${e}^{m-\frac{1}{2}}$-lnm-2，從而由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，再求最小值即可．

解答 解：不妨設(shè)g（a）=f（b）=m，
∴e^a-2=ln$\frac{2}$+$\frac{1}{2}$=m，
∴a-2=lnm，b=2•${e}^{m-\frac{1}{2}}$，
故b-a=2•${e}^{m-\frac{1}{2}}$-lnm-2，（m＞0）
令h（m）=2•${e}^{m-\frac{1}{2}}$-lnm-2，
h′（m）=2•${e}^{m-\frac{1}{2}}$-$\frac{1}{m}$，
易知h′（m）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
且h′（$\frac{1}{2}$）=0，
故h（m）=2•${e}^{m-\frac{1}{2}}$-lnm-2在m=$\frac{1}{2}$處有最小值，
即b-a的最小值為ln2；
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用及導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．