雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1上一點(diǎn)(2，
3
)到左，右兩焦點(diǎn)距離的差為2．
（1）求雙曲線的方程；
（2）設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線的左右焦點(diǎn)，P是雙曲線上的點(diǎn)，若|PF1|+|PF2|=6，求△PF1F2的面積；
（3）過（-2，0）作直線l交雙曲線C于A，B兩點(diǎn)，若
OP
=
OA
+
OB
，是否存在這樣的直線l，使OAPB為矩形？若存在，求出l的方程，若不存在，說明理由．
（1）∵雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1上一點(diǎn)(2，
3
)到左，右兩焦點(diǎn)距離的差為2．
∴a=1，雙曲線方程為x2-
y2
b2
=1，
把點(diǎn)(2，
3
)2，
3
）代入，得b=1．
∴雙曲線方程為：x2-y2=1．
（2）設(shè)P在第一象限，則
|PF1| -|PF2|=2
|PF1| +|PF2|=6
，
解得|PF1|=4，|PF2|=2，
∴cos∠F1PF2=
3
4
，
∴sin∠F1PF=
7
4
，
∴△PF1F2的面積S=
7
．
（3）若直線斜率存在，設(shè)為y=k（x+2），代入x2-y2=1，
得（1-（1-k2）x2-4k2x-4k2-1=0（k≠±1），
若平行四邊形OAPB為矩形，則OA⊥OB，
∴x1x2+y1y2=0，
∴
k2+1
k2-1
=0無解．
若直線垂直x軸，則A（-2，
3
），B（-2，
3
）不滿足．
故不存在直線l，使OAPB為矩形．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a，b＞0)的一條漸近線與拋物線x=y2的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為
x
 
0
，若
x
 
0
＞
1
2
，則雙曲線C的離心率的取值范圍是（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•蘭州模擬）已知F為雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的右焦點(diǎn)，P為雙曲線C右支上一點(diǎn)，且位于x軸上方，M為直線x=-
a2
c
上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知
OP
=
OF
+
OM
，且|
OF
|=|
OM
|，則雙曲線C的離心率為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（b＞a＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2．若在雙曲線的右支上存在一點(diǎn)P，使得|PF1|=3|PF2|，則雙曲線C的離心率e的取值范圍為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•浙江模擬）設(shè)雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F，左右頂點(diǎn)分別為A1，A2，過F且與雙曲線C的一條漸近線平行的直線與另一條漸近線相交于P，若P恰好在以A1A2為直徑的圓上，則雙曲線的離心率為
2
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)P為雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的漸近線在第一象限內(nèi)的部分上一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為雙曲線C的右焦點(diǎn)，A為雙曲線C的右準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，e是雙曲線C的離心率，則∠APF的余弦的最小值為（　�。�

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