Question

【題目】若各項(xiàng)均不為零的數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.

（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)，是否存在正整數(shù)，使得對(duì)于恒成立.若存在，求出正整數(shù)的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明詳見解析，；（2）存在，最小值為1.

【解析】

(1) ，①，得，②,然后②-①得,③

當(dāng)時(shí)，，④, ③-④得,驗(yàn)證時(shí)也成立,從而可證數(shù)列是等比數(shù)列,由定義可求得通項(xiàng)公式,

(2)求出后,利用裂項(xiàng)求和可求得,再根據(jù)恒成立可求得的最小值.

，①，，②

由數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為及②-①得

,

,

，，③

從而當(dāng)時(shí)，，④

③-④得，即，所以，

，.

，令，得，，.

當(dāng)時(shí)，由得，

由知，此時(shí).

數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，且.

（2）,

,

.

假設(shè)存在正整數(shù)，使得對(duì)于恒成立，

則,所以的最小值為1.