Question

10．若函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足f（1-x）=-f（2-x），當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f（x）=2^x，則f（${log}_{\frac{1}{2}}$7）的值為-$\frac{7}{4}$．

Answer 1

分析 根據(jù)條件求出函數(shù)的周期性，利用函數(shù)奇偶性和周期性的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足f（1-x）=-f（2-x），
∴-f（x-1）=f（x-2），
即-f（x+1）=f（x），
則f（x+1）=-f（x），f（x+2）=f（x），
則函數(shù)的周期是2．
f（${log}_{\frac{1}{2}}$7）=f（-log₂7）=-f（log₂7），
∵2＜log₂7＜3，
∴0＜log₂7-2＜1，
即0＜log₂$\frac{7}{4}$＜1，
∵當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f（x）=2^x，
∴f（log₂$\frac{7}{4}$）=${2}^{lo{g}_{2}\frac{7}{4}}$=$\frac{7}{4}$，
故f（${log}_{\frac{1}{2}}$7）=-f（log₂7）=-$\frac{7}{4}$，
故答案為：-$\frac{7}{4}$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)值的計(jì)算，利用函數(shù)奇偶性和周期性的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．