Question

如圖所示，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為菱形，∠ABC=60°，PA=AB=2，N為PC的中點．
（1）求證：BD⊥平面PAC；
（2）求證：PA∥平面NBD；
（3）求二面角B-AN-C的平面角的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中PA⊥平面ABCD，底面ABCD為菱形，結合菱形的性質及線面垂直的性質，我們可得BD⊥AC且BD⊥PA，再由線面垂直的判定定理可得BD⊥平面PAC；
（2）連接NO，由三角形的中位線定理，我們可得PA∥NO，由線面平行的判定定理，即可得到答案．
（3）由（1）的結論，作OM⊥NA，連接BM，可得∠BMO為二面角B-AN-C的平面角，解RT△BMO，即可得到二面角B-AN-C的平面角的大�。�
解答：證明：（1）∵ABCD為菱形，
∴BD⊥AC
又∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴BD⊥PA
∵PA∩AC=A
∴BD⊥平面PAC；
（2）連接NO，∵O為AC的中點，N為PC的中點
∴PA∥NO
又∵PA?平面NBD，ON?平面NBD
∴PA∥平面NBD；
解：（3）由（l）可知，BO⊥平面PAC，
故在平面PAC內，作OM⊥NA，
連接BM（如圖），則∠BMO為二面角B-AN-C的平面角．
在RT△BMO中，易知AO=，OM=
∴tan∠BMO=，
即二面角B-AN-C的正切值為
點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，其中（1）的關鍵是證得BD⊥AC且BD⊥PA，（2）的關鍵是證得PA∥NO，（3）的關鍵是找到二面角B-AN-C的平面角∠BMO．