Question

設直線l：x-2y+2=0關于原點對稱的直線為l′，若l′與橢圓x²+4y²=4的交點為P、Q，點M為橢圓上的動點，則使△MPQ的面積為

1

2

的點M的個數(shù)為（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：先求出直線l′的方程，與橢圓方程聯(lián)立求得交點A和B的坐標，利用兩點間的距離公式求出AB的長，再根據(jù)三角形的面積求出AB邊上的高，設出P的坐標，利用點到直線的距離公式表示出P到直線l′的距離即為AB邊上的高，得到關于a和b的方程，把P代入橢圓方程得到關于a與b的另一個關系式，兩者聯(lián)立利用根的判別式判斷出a與b的值有幾對即可得到交點有幾個．

解答： 解：直線l關于原點對稱的直線l′為y=-2x+2，與橢圓聯(lián)立

y=-2x+2 x2+4y2=4

，
∴

x=0 y=2

或

x=1 y=0

，
則A（0，2），B（1，0），所以AB=

5

∵△PAB的面積為

1

2

，所以AB邊上的高為

5

5

，
設P的坐標為（a，b），則a2+

b2

4

=1
P到直線y=-2x+2的距離d=

|2a+b-2|

5

=

5

5

，
∴2a+b-2=1或2a+b-2=-1；
聯(lián)立得

2a+b=3 a2+ b2 4 =1

①或

2a+b=1 a2+ b2 4 =1

②
解①得8a²-12a+5=0，因為△=144-160=-16＜0，所以方程無解；
由②得：8a²-4a-3=0，△=16+96=112＞0，
所以a有兩個不相等的根，則對應的b也有兩個不等的根，所以滿足題意的P的坐標有兩個．
故選B．

點評：考查學生會求直線與橢圓的交點坐標，靈活運用點到直線的距離公式化簡求值．同時要求學生會利用根的判別式判斷方程解的情況．