已知O是△ABC內(nèi)任意一點，連接AO、BO、CO并延長交對邊于A′、B′、C′，則
OA′
AA′
+
OB′
BB′
+
OC′
CC′
=1，運用類比猜想，對于空間中四面體A-BCD有
OA′
AA′
+
OB′
BB′
+
OC′
CC′
+
OD′
DD′
=1
OA′
AA′
+
OB′
BB′
+
OC′
CC′
+
OD′
DD′
=1
．
分析：先根據(jù)所給的定理寫出猜想的定理，把面積類比成體積，把面積之和等于1，寫成體積之和等于1，再進行證明．
解答：解：猜想：若O四面體ABCD內(nèi)任意點，AO，BO，CO，DO并延長交對面于A′，B′，C′，D′，則
OA′
AA′
+
OB′
BB′
+
OC′
CC′
+
OD′
DD′
=1
用“體積法”證明如下：
OA′
AA′
+
OB′
BB′
+
OC′
CC′
+
OD′
DD′

=
VO-BCD
VA-BCD
+
VO-CAD
VA-BCD
+
VO-ABD
VC-ABD
+
VO-ABC
VD-ABC
=
VABCD
VABCD
=1
故答案為：
OA′
AA′
+
OB′
BB′
+
OC′
CC′
+
OD′
DD′
=1
點評：本題考查類比推理，是一個基礎(chǔ)題，這種題目的解題的關(guān)鍵是要根據(jù)所給的定理類比出可能的定理，后面再進行證明．
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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知A，B，C是平面上不共線的三點，o為平面ABC內(nèi)任一點，動點P滿足等式
OP
=
1
3
[(1-λ)
OA
+(1-λ)
OB
+(1+2λ)
OC
](λ∈R且λ≠1，則P的軌跡一定通過△ABC的（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知A，B，C是平面上不共線的三點，O為平面ABC內(nèi)任一點，動點P滿足等式
OP
=
1
3
[（1-λ）
OA
+（1-λ）
OB
+（1+2λ）
OC
]（λ∈R且λ≠0），則點P的軌跡一定通過△ABC的
重心
重心
．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

已知A，B，C是平面上不共線的三點，O為平面ABC內(nèi)任一點，動點P滿足等式
OP
=
1
3
[（1-λ）
OA
+（1-λ）
OB
+（1+2λ）
OC
]（λ∈R且λ≠0），則點P的軌跡一定通過△ABC的______．

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年湖北省天門市部分重點中學聯(lián)考高三（上）期中數(shù)學試卷（解析版） 題型：填空題

已知A，B，C是平面上不共線的三點，O為平面ABC內(nèi)任一點，動點P滿足等式=[（1-λ）+（1-λ）+（1+2λ）]（λ∈R且λ≠0），則點P的軌跡一定通過△ABC的    ．

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年湖南省長沙市瀏陽一中高三（下）第三次月考數(shù)學試卷（理科）（解析版） 題型：選擇題

已知A，B，C是平面上不共線的三點，o為平面ABC內(nèi)任一點，動點P滿足等式且λ≠1，則P的軌跡一定通過△ABC的（ ）
A．內(nèi)心
B．垂心
C．重心
D．外心

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