Question

16．求證：1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2014}$＜12．

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{1}{x}$，求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求出增區(qū)間，可得lnx＞1-$\frac{1}{x}$，（x＞1）令x=1+$\frac{1}{n}$=$\frac{n+1}{n}$，即有l(wèi)n$\frac{n+1}{n}$＞1-$\frac{1}{1+\frac{1}{n}}$=$\frac{1}{n+1}$，再由累加法，結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)，可得ln（n+1）＞$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n+1}$（n∈N₊），令n=2014，可得證．

解答 證明：由f（x）=lnx+$\frac{1}{x}$的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
當(dāng)x＞1時，f′（x）＞0，f（x）遞增，
即有f（x）＞f（1）=1，
則lnx＞1-$\frac{1}{x}$，（x＞1）
令x=1+$\frac{1}{n}$=$\frac{n+1}{n}$，即有l(wèi)n$\frac{n+1}{n}$＞1-$\frac{1}{1+\frac{1}{n}}$=$\frac{1}{n+1}$，
則ln2＞$\frac{1}{2}$，ln$\frac{3}{2}$＞$\frac{1}{3}$，…，ln$\frac{n+1}{n}$＞$\frac{1}{n+1}$，
即有l(wèi)n2+ln$\frac{3}{2}$+…+ln$\frac{n+1}{n}$＞$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n+1}$，
即為ln（2•$\frac{3}{2}$•…•$\frac{n+1}{n}$）＞$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n+1}$，
則有l(wèi)n（n+1）＞$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n+1}$（n∈N₊），
令n=2013，可得$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2014}$＜ln2014＜11，
則有1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2014}$＜12．

點評 本題考查不等式的證明方法：構(gòu)造法，考查導(dǎo)數(shù)的運用：求單調(diào)性，運用累加法和對數(shù)的運算性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．