Question

4．已知tanα=$\frac{1}{7}$，tanβ=$\frac{1}{3}$，α，β都是銳角，求α+2β

Answer 1

分析 根據(jù)tanα和tanβ的值都小于1且α，β均為銳角，得到α和β度數(shù)都為大于0小于 $\frac{π}{4}$，進(jìn)而求出α+2β的范圍，然后利用二倍角的正切函數(shù)公式由tanβ的值求出tan2β的值，利用兩角和的正切函數(shù)公式表示出tan（α+2β），將各自的值代入即可求出值，根據(jù)求出的α+2β的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出α+2β的值．

解答 解：∵tanα=$\frac{1}{7}$＜1，tanβ=$\frac{1}{3}$＜1，
且α、β均為銳角，
∴0＜α＜$\frac{π}{4}$，0＜β＜$\frac{π}{4}$．
∴0＜α+2β＜$\frac{3π}{4}$．
又tan2β=$\frac{2tanβ}{1-{tan}^{2}β}$=$\frac{3}{4}$，
∴tan（α+2β）=$\frac{tanα+tan2β}{1-tanα•tan2β}$=$\frac{\frac{1}{7}+\frac{3}{4}}{1-\frac{1}{7}×\frac{3}{4}}$=1
∴α+2β=$\frac{π}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用二倍角的正切函數(shù)公式及兩角和的正切函數(shù)公式化簡求值，是一道基礎(chǔ)題．求出α+2β的范圍是本題的關(guān)鍵．