Question

已知函數(shù)f（x）=b+（1-2a）x+x²-x³，討論f（x）在其定義域上的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可判斷函數(shù)的單調(diào)性．

解答： 解：f′（x）=（1-2a）+2x-3x²=-3x²+2x+（1-2a），
當(dāng)△=16-24a≤0，即a≥

2

3

，f′（x）≤0恒成立，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減．
當(dāng)△=16-24a＞0，即a＜

2

3

時(shí)，
令f′（x）=-3x²+2x+（1-2a）=0，解得x=

1+2 4-6a

3

，或x=

1-2 4-6a

3

，
當(dāng)f′（x）＞0時(shí)，即

1-2 4-6a

3

＜x＜

1+2 4-6a

3

，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)f′（x）＜0時(shí)，即x＜

1-2 4-6a

3

，或x＞

1+2 4-6a

3

，函數(shù)單調(diào)遞減，
綜上所述，當(dāng)a≥

2

3

，函數(shù)f（x）在R上為減函數(shù)．
當(dāng)a＜

2

3

時(shí)，函數(shù)f（x）在（

1-2 4-6a

3

，

1+2 4-6a

3

）為增函數(shù)，在（-∞，

1-2 4-6a

3

）和（

1+2 4-6a

3

，+∞）為減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，注意討論a的取值范圍對(duì)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的影響，屬于中檔題