Question

如圖，在矩形ABCD中，已知AB=3，AD=1，E、F分別是AB的兩個(gè)三等分點(diǎn)，AC，DF相交于點(diǎn)G，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系：
（1）若動(dòng)點(diǎn)M到D點(diǎn)距離等于它到C點(diǎn)距離的兩倍，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡圍成區(qū)域的面積；
（2）證明：E G⊥D F．

Answer 1

【答案】分析：（1）以A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，求出動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，即可求出圍成區(qū)域的面積；
（2）求出直線AC，DF的方程，可得G的坐標(biāo)，計(jì)算k_EG•k_DF=-1，即可得到結(jié)論．
解答：（1）解：以A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則A（0，0），B（3，0），C（3，1），D（0，1），E（1，0），F(xiàn)（2，0）．…（1分）
設(shè)M（x，y），由題意知|MD|=2|MC|…（2分）
∴…（3分）
兩邊平方化簡(jiǎn)得：即（x-4）²+（y-1）²=4…（5分）
即動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為圓心（4，1），半徑為2的圓，
∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡圍成區(qū)域的面積為4π…（6分）
（2）證明：由A（0，0）．C（3，1）知直線AC的方程為：x-3y=0，…（7分）
由D（0，1）．F（2，0）知直線DF的方程為：x+2y-2=0，…（8分）
由得，故點(diǎn)G點(diǎn)的坐標(biāo)為．…（10分）
又點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，0），故k_EG=2，k_DF=-   …（12分）
所以k_EG•k_DF=-1，即證得：EG⊥DF    …（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查直線方程的求解，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．