設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
2
=1(a＞0)的左右焦點(diǎn)分別為F1、F2，A是橢圓C上的一點(diǎn)，且
AF2
•
F1F2
=0，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線AF1的距離為
1
3
|OF1|．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)Q是橢圓C上的一點(diǎn)，過點(diǎn)Q的直線l交x軸于點(diǎn)F（-1，0），交y軸于點(diǎn)M，若|MQ|=2|QF|，求直線l的斜率．
（1）由題設(shè)知F1（-
a2-2
，0），F(xiàn)2（
a2-2
，0），其中a＞
2

由于
AF2
•
F1F2
=0，則有
AF2
⊥
F1F2
，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為（
a2-2
，±
2
a
）
故AF1所在直線方程為y=±（
x
a
a2-2
+
1
a
），所以坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線AF1的距離為
a2-2
a2-1
，
又|OF1|=
a2-2
，所以
a2-2
a2-1
=|=
1
3
a2-2
，解得：a=2．
∴所求橢圓的方程為
x2
4
+
y2
2
=1．
（2）由題意可知直線l的斜率存在，設(shè)直線斜率為k，則直線l的方程為y=k（x+1），故M（0，k）．
設(shè)Q（x1，y1），由于Q，F(xiàn)，三點(diǎn)共線，且|MQ|=|2QF|．
根據(jù)題意得（x1，y1-k）=±2（x1+1，y1），解得
x1=-2
y1=-k
或
x1=-
2
3
y1=
k
3

又Q在橢圓C上，故
4
4
+
k2
2
=1或
4
9
4
+
(
k
3
)2
3
=1，
解得k=0，k=±4，綜上，直線的斜率為0或±4
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，設(shè)拋物線c1：y2=4mx（m＞0）的準(zhǔn)線與x軸交于F1，焦點(diǎn)為F2，以F1、F2為焦點(diǎn)，離心率e=
1
2
的橢圓c2與拋物線c1在x軸上方的一個(gè)交點(diǎn)為P．
（1）當(dāng)m=1時(shí)，求橢圓的方程；
（2）在（1）的條件下，直線l經(jīng)過橢圓c2的右焦點(diǎn)F2，與拋物線c1交于A1、A2，如果以線段A1A2為直徑作圓，試判斷點(diǎn)P與圓的位置關(guān)系，并說明理由；
（3）是否存在實(shí)數(shù)m，使得△PF1F2的邊長是連續(xù)的自然數(shù)，若存在，求出這樣的實(shí)數(shù)m；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

若橢圓
x2
m
+
y2
3
=1的右焦點(diǎn)與拋物線y2=12x的焦點(diǎn)重合，則m=（　�。�
A．3B．6C．9D．12

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知△ABC的周長是16，A（-3，0），B（3，0），則動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程是（　　）
A．
x2
25
+
y2
16
=1		B．
x2
25
+
y2
16
=1(y≠0)
C．
x2
16
+
y2
25
=1		D．
x2
16
+
y2
25
=1(y≠0)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

點(diǎn)P(2cosα，
3
sinα)（α∈R）與橢圓C：
x2
4
+
y2
3
=1的位置關(guān)系是（　　）
A．點(diǎn)P在橢圓C上
B．點(diǎn)P與橢圓C的位置關(guān)系不能確定，與α的取值有關(guān)
C．點(diǎn)P在橢圓C內(nèi)
D．點(diǎn)P在橢圓C外

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知橢圓過點(diǎn)（3，0）且離心率為
6
3
，則橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若△AF1F2為正三角形且周長為6；
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若橢圓C上存在A，B兩點(diǎn)關(guān)于直線y=x+m對稱，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）若直線l：y=kx+n與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)（A，B不是左右頂點(diǎn)），且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)，求證直線l過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知點(diǎn)P在橢圓
x2
49
+
y2
24
=1上，F(xiàn)1、F2是橢圓的焦點(diǎn)，且PF1⊥PF2，求
（1）|PF1|•|PF2|
（2）△PF1F2的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一個(gè)頂點(diǎn)到其左、右兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離分別為5和1；點(diǎn)P是橢圓上一點(diǎn)，且在x軸上方，直線PF2的斜率為-
15
．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）求△F1PF2的面積．

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