Question

已知函數(shù)，（ a＞0，a≠1，a為常數(shù)）
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求f（x）的定義域；
（2）當(dāng)a＞1時(shí)，判斷函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性；
（3）當(dāng)a＞1時(shí)，若f（x）在[1，+∞）上恒取正值，求a應(yīng)滿足的條件．

Answer 1

解：，
∴x＞0．f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）
（2）當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞）．任取0＜x₁＜x₂，
則g（x₁）-g（x₂）=，
由于a＞1，有，
∴y₁-y₂＜0，即y₁＜y₂
∴在其定義域上是增函數(shù)．（也可：由a＞1，知a^x遞增，0.5^x遞減，-（0.5）^x也遞增，故g（x）遞增）
（3）依題意，，即對(duì)x∈[1，+∞）恒成立，
由于a＞1時(shí)， 上遞增，
∴，得，∴．
分析：（1）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，真數(shù)恒大于零，建立不等關(guān)系，解之即可；
（2）在定義域（0，+∞）內(nèi)任取兩個(gè)值x₁，x₂，并規(guī)定大小，然后將它們的函數(shù)值進(jìn)行作差比較，確定符號(hào)，根據(jù)單調(diào)性的定義可知該函數(shù)的單調(diào)性；
（3）根據(jù)題意可轉(zhuǎn)化成對(duì)x∈[1，+∞）恒成立，只需研究在[1，+∞）上的最小值恒大于1即可．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)恒成立問題，以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，屬于基礎(chǔ)題．