Question

已知定義域為R的函數(shù)f（x）=

-2x+b

2x+1+a

是奇函數(shù)．
（1）求a，b的值；       
（2）判斷f（x）的單調(diào)性，并用定義給出證明．
（3）若對任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）直接結(jié)合函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，f（0）=0，f（1）=-f（-1）求解a，b的值；
（2）用函數(shù)單調(diào)性的定義證明；
（3）結(jié)合（1）和（2），轉(zhuǎn)化成f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（k-2t²），從而得到t²-2t＞k-2t²．然后求解k的取值范圍．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
∴f（0）=0，f（1）=-f（-1）
得 b=1，a=2．
（2）f（x）為減函數(shù)，證明如下：
由（1）知，f（x）=

-2x+1

2x+1+2

任設(shè)x₁，x₂?R，且x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=

1-2x1

2x1+1+2

-

1-2x2

2x2+1+2

=

4(2x2-2x1)

(2x1+1+2)(2x2+1+2)

，
∵x₁＜x₂，
∴2x2-2x1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x）為減函數(shù)．
（3）由（1）知f（x）=

-2x+1

2x+1+2

，
又f（x）在（-∞，+∞）上為減函數(shù)．
又因f（x）是奇函數(shù)，
從而不等式：f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0
等價于f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（k-2t²），
因f（x）為減函數(shù)，由上式推得：
t²-2t＞k-2t²．
即對一切t∈R有：3t²-2t-k＞0，
從而判別式△=4+12k＜0⇒k＜-

1

3

點評：本題重點考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性等知識，屬于中檔題．