Question

有4個不同的球，四個不同的盒子，把球全部放入盒內(nèi)（結果用數(shù)字表示）．
（1）共有多少種放法？
（2）恰有一個盒子不放球，有多少種放法？
（3）恰有一個盒內(nèi)放2個球，有多少種放法？
（4）恰有兩個盒不放球，有多少種放法？

Answer 1

考點：排列、組合及簡單計數(shù)問題

專題：計算題,應用題,排列組合

分析：（1）一個球一個球地放到盒子里去，每只球都可有4種獨立的放法，由分步乘法計數(shù)原理，即可得到；
（2）先從四個盒子中任意拿出去1個，再將4個球分成2，1，1的三組，然后再排，運用分步乘法計數(shù)原理，即可；
（3）“恰有一個盒內(nèi)放2球”與“恰有一個盒子不放球”是一回事，即可得到；
（4）先從四個盒子中任意拿走兩個，問題即為：4個球，放入兩個盒子中，每個不空，有幾種排法？從放球數(shù)目看，可分兩類（3，1），（2，2）．分別求出種數(shù)，由兩個計數(shù)原理，即可得到．

解答： 解：（1）一個球一個球地放到盒子里去，每只球都可有4種獨立的放法，
由分步乘法計數(shù)原理，放法共有：4⁴=256種．                       
（2）為保證“恰有一個盒子不放球”，先從四個盒子中任意拿出去1個，
再將4個球分成2，1，1的三組，有

C

2 4

種分法；然后再從三個盒子中選一個放兩個球，
其余兩個球放兩個盒子，全排列即可．由分步乘法計數(shù)原理，共有放法：

C

1 4

•C

2 4

•

C

1 3

•

A

2 2

=144種．          
（3）“恰有一個盒內(nèi)放2個球”，即另外三個盒子中恰有一個空盒．
因此，“恰有一個盒內(nèi)放2球”與“恰有一個盒子不放球”是一回事．故也有144種放法．
（4）先從四個盒子中任意拿走兩個有

C

2 4

種，然后問題轉(zhuǎn)化為：4個球，放入兩個盒子中，每個不空，有幾種排法？從放球數(shù)目看，可分兩類（3，1），（2，2）．
第一類，可從4個球選3個，然后放入一個盒子中，即可，有

C

3 4

•

C

1 2

種；
第二類，有

C

2 4

種，共有

C

3 4

•

C

1 2

+

C

2 4

=14種，
由分步計數(shù)原理得，恰有兩個盒不放球，共有6×14=84放法．

點評：本題考查排列組合應用題，考查兩個計數(shù)原理的運用，注意做到不重不漏，同時考查運算能力，屬于中檔題．