Question

12．若a₁=a（0＜a＜1），a_n+a_n+1=2n（n∈N^*），則a_n=$\left\{\begin{array}{l}{n+a-1，n為奇數(shù)}\\{n-a，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 由a_n+a_n+1=2n可得a_n+1+a_n+2=2（n+1），兩式相減可知a_n+2-a_n=2，即可證明{a_n}的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別為等差數(shù)列．分n為奇偶數(shù)即可得出其通項公式．

解答 解：∵a_n+a_n+1=2n（n∈N^*）①，
∴a_n+1+a_n+2=2（n+1）②，
②-①得a_n+2-a_n=2（n∈N^*），
∴{a_n}的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別為公差為2的等差數(shù)列．
由a₁+a₂=2，得a₂=2-a₁=2-a，
當n為偶數(shù)時，${a}_{n}=2-a+（\frac{n}{2}-1）$×2=n-a；
當n為奇數(shù)時，${a}_{n}=a+（\frac{n+1}{2}-1）$×2=n+a-1．
∴${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{n+a-1，n為奇數(shù)}\\{n-a，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$．
故答案為：$\left\{\begin{array}{l}{n+a-1，n為奇數(shù)}\\{n-a，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$．

點評 本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等差關系的確定，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想方法，是中檔題．