Question

19．在△ABC中，∠BCA=90°，BC在BA的投影為BD（即CD⊥AB），如圖，有射影定理BC²=BD•BA．類似，在四面體P-ABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，點(diǎn)P在底面ABC的射影為點(diǎn)O（即PO⊥面ABC），則△PAB，△ABO，△ABC的面積S₁，S₂，S₃也有類似結(jié)論，則類似的結(jié)論是什么？這個(gè)結(jié)論正確嗎？說明理由．

Answer 1

分析 這是一個(gè)類比推理的題，在由平面圖形到空間圖形的類比推理中，一般是由點(diǎn)的性質(zhì)類比推理到線的性質(zhì)，由線的性質(zhì)類比推理到面的性質(zhì)，即可得出結(jié)論．

解答 解：類似的結(jié)論是：S₁²=S₂．S₃…（4分）
這個(gè)結(jié)論是正確的，證明如下：
連接CO延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)D，連接PD、OA、OB
∵PC⊥PA，PC⊥PB，PA∩PB=P
∴PC⊥面PAB
∴PC⊥PD，PC⊥AB，
又∵PO⊥面ABC，CD為PC在面ABC的射影
∴AB⊥CD．
在△PDC中，由射影定理有：PD²=DO•DC
∴S₁²=（$\frac{1}{2}AB•DP$）²=$\frac{1}{4}$AB²•DO•DC=$\frac{1}{2}AB•DO•\frac{1}{2}AB•DC$=S₂．S₃
故結(jié)論正確…（12分）

點(diǎn)評(píng) 類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題（猜想）．