Question

19．已知向量$\overrightarrow a=（-1，2）$，$\overrightarrow b=（3，-6）$，若向量$\overrightarrow c$滿足$\overrightarrow c$與$\overrightarrow b$的夾角為120°，$\overrightarrow c•（4\overrightarrow a+\overrightarrow b）=5$，則$|{\overrightarrow c}|$=（　�。�

• A． 1
• B． $\sqrt{5}$
• C． 2
• D． $2\sqrt{5}$

Answer 1

分析 運(yùn)用坐標(biāo)求解，$\overrightarrow{c}$=（x，y），得出x-2y=-5，根據(jù)夾角公式得出$-\frac{1}{2}$=$\frac{\overrightarrow{c}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{c}|•|\overrightarrow|}$，即$-\frac{1}{2}$=$\frac{3x-6y}{3\sqrt{5}×\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$，整體代入整體求解即可得出$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．選擇答案．

解答 解：設(shè)$\overrightarrow{c}$=（x，y）
∵$\overrightarrow a=（-1，2）$，$\overrightarrow b=（3，-6）$，
∴4$\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow$=（-1，2），|4$\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow$|=$\sqrt{5}$，$\frac{\overrightarrow{c}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{c}|•|\overrightarrow|}$
∵$\overrightarrow c•（4\overrightarrow a+\overrightarrow b）=5$，
∴-x+2y=5，
即x-2y=-5，
∵向量$\overrightarrow c$滿足$\overrightarrow c$與$\overrightarrow b$的夾角為120°
∴$-\frac{1}{2}$=$\frac{\overrightarrow{c}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{c}|•|\overrightarrow|}$，
即$-\frac{1}{2}$=$\frac{3x-6y}{3\sqrt{5}×\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$，
∵$-\frac{1}{2}$=$\frac{3×（-5）}{3\sqrt{5}×\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$，
∴$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
故|$\overrightarrow{c}$|=2$\sqrt{5}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算，運(yùn)用坐標(biāo)求解數(shù)量積，夾角，模，難度不大，計(jì)算準(zhǔn)確即可完成題目．