Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x3+ax2+bx+c，f（2）=

2

3

，f′（2）=4，g（2）=1，g′（2）=3
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）當(dāng)a=1時，函數(shù)h（x）=

f(x)+ 1 3

g(x)

在點（2，h（2））處的切線能否與函數(shù)f（x）的圖象相切？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用f^′（2）=4即可得到b=-4a，進(jìn)而得到f^′（x）=x²+2ax-4a，通過對其△與0 的關(guān)系分類討論即可得出單調(diào)性；
（2）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得出切線的方程；再求出切點坐標(biāo)，比較函數(shù)值即可．

解答：解：（1）∵f^′（2）=4，f^′（x）=x²+2ax+b，∴2²+4a+b=4，解得b=-4a，
∴f^′（x）=x²+2ax-4a，△=4a²+16a=4（a²+4a）．
當(dāng)△＞0時，即a＞0或a＜-4時，x_1，2=-a±

a2+4a

，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間：(-∞，-a-

a2+4a

)，(-a+

a2+4a

，+∞)．
當(dāng)△≤0時，即-4≤a≤4時，f^′（x）≥0，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間：（-∞，+∞）．
（2）∵h(2)=

f(2)+ 1 3

g(2)

=

2 3 + 1 3

1

=1，即切點為（2，1）．
由h′(x)=

f′(x)g(x)-[f(x)+ 1 3 ]•g′(x)

g2(x)

，得h′(2)=

f′(2)g(2)-[f(2)+ 1 3 ]•g′(2)

g2(2)

=1，
所以，曲線h（x）在點（2，1）處的切線方程y=x-1．
當(dāng)a=1時，b=-4．
由f(2)=

2

3

，∴

8

3

+4a+2b+c=

2

3

，得c=2，
∴f（x）=

1

3

x3+x2-4x+2，f^′（x）=x²+2x-4．
當(dāng)f^′（x）=x²+2x-4=1，x²+2x-5=0，∴x=-1±

6

．
當(dāng)x=-1±

6

時，f(x)=

20

3

±3

6

．
而x=-1±

6

，y=x-1=-2±

6

≠

20

3

±3

6

．
所以函數(shù)h(x)=

f(x)+ 1 3

g(x)

在點（2，h（2））處的切線不能與函數(shù)f（x）圖象相切．

點評：本題綜合考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、“三個二次”的關(guān)系、切線方程等基礎(chǔ)知識與方法．