Question

如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁底面邊長(zhǎng)為2，AA₁=4

2

，AC₁=2AF，AD⊥B₁D，AE=

1

2

B₁E．
（1）證明：DF∥平面ABB₁A₁；
（2）求三棱錐A-DEF的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）證明D為BC的中點(diǎn)，DF∥A₁B，即可證明DF∥平面ABB₁A₁；
（2）利用V_A-DEF=V_D-AEF=

1

6

V_D-AB1C1=V_A-DB1C1，求三棱錐A-DEF的體積．

解答： （1）證明：如圖：連接A₁B，A₁C
∵ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，∴AD⊥B₁D，AD⊥BB₁
∴AD⊥平面BB₁C₁，
∵△ABC為正三角形，
∴D為BC的中點(diǎn)，
∵F為AC₁的中點(diǎn)，
∴DF∥A₁B，
∵DF?平面ABB₁A₁，A₁B?平面ABB₁A₁，
∴DF∥平面ABB₁A₁；
（2）解：V_A-DEF=V_D-AEF=

1

6

V_D-AB1C1=V_A-DB1C1=

1

3

•

1

6

•S△B1C1D•AD=

2 6

9

．

點(diǎn)評(píng)：證明線面平行關(guān)鍵是在平面內(nèi)找到一條直線與已知直線平行；求三棱錐的體積時(shí)若不易求出一般是先觀察一下是否換一個(gè)底面積與高都容易求的定點(diǎn)．