Question

（2011•江蘇二模）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列{a_n}的公差d不等于0，設(shè)a₁，a₃，a_k是公比為q的等比數(shù)列{b_n}的前三項(xiàng)，
（1）若k=7，a₁=2；
（i）求數(shù)列{a_nb_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（ii）將數(shù)列{a_n}和{b_n}的相同的項(xiàng)去掉，剩下的項(xiàng)依次構(gòu)成新的數(shù)列{c_n}，設(shè)其前n項(xiàng)和為S_n，求S2n-n-1-22n-1+3•2n-1(n≥2，n∈N*)的值
（2）若存在m＞k，m∈N^*使得a₁，a₃，a_k，a_m成等比數(shù)列，求證k為奇數(shù)．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)閗=7，所以a₁，a₃，a₇成等比數(shù)列，又a_n是公差d≠0的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及等比數(shù)列的定義可以得到a_n=a₁+（n-1）d=n+1，b_n=b₁×q^n-1=2ⁿ，
（i）用錯位相減法可求得a_nb_n的前n項(xiàng)和為T_n=n×2ⁿ⁺¹；
（ii）因?yàn)樾碌臄?shù)列{c_n }的前2ⁿ-n-1項(xiàng)和為數(shù)列a_n的前2ⁿ-1項(xiàng)的和減去數(shù)列b_n前n項(xiàng)的和，所以計(jì)算得到S2n-n-1-22n-1+3•2n-1=-1．
（2）由題意由于（a₁+2d）²=a₁（a₁+（k-1））d，整理得4d²=a₁d（k-5），解方程得d=

a1(k-5)

4

，q=

a3

a1

=

a1+2d

a1

=

k-3

2

，又因?yàn)榇嬖趍＞k，m∈N^*使得a₁，a₃，a_k，a_m成等比數(shù)列，及在正項(xiàng)等差數(shù)列{a_n}中，得到2[4+（m-1）（k-5）]=（k-3）³，分析數(shù)特點(diǎn)即可．

解答：解：（1）因?yàn)閗=7，所以a₁，a₃，a₇成等比數(shù)列，又a_n是公差d≠0的等差數(shù)列，
所以（a₁+2d）²=a₁（a₁+6d），整理得a₁=2d，
又a₁=2，所以d=1，b₁=a₁=2，q=

b2

b1

=

a3

a1

=

a1+2d

a1

=2，
所以a_n=a₁+（n-1）d=n+1，b_n=b₁×q^n-1=2ⁿ，
（i）用錯位相減法或其它方法可求得a_nb_n的前n項(xiàng)和為T_n=n×2ⁿ⁺¹；
（ii）因?yàn)樾碌臄?shù)列{c_n }的前2ⁿ-n-1項(xiàng)和為數(shù)列a_n的前2ⁿ-1項(xiàng)的和減去數(shù)列b_n前n項(xiàng)的和，
所以S2n-n-1=

(2n-1)(2+2n)

2

-

2(2n-1)

2-1

=(2n-1)(2n-1-1)．
所以S2n-n-1-22n-1+3•2n-1=1
（2）由（a₁+2d）²=a₁（a₁+（k-1））d，整理得4d²=a₁d（k-5），
因?yàn)閐≠0，所以d=

a1(k-5)

4

，所以q=

a3

a1

=

a1+2d

a1

=

k-3

2

．
因?yàn)榇嬖趍＞k，m∈N^*使得a₁，a₃，a_k，a_m成等比數(shù)列，
所以am=a 1q3=a1(

k-3

2

)3，
又在正項(xiàng)等差數(shù)列{a_n}中，am=a1+(m-1)d=a1+

a1(m-1)(k-5)

4

，
所以a1+

a1(m-1)(k-5)

4

=a1(

k-3

2

)3，又因?yàn)閍₁＞0，
所以有2[4+（m-1）（k-5）]=（k-3）³，
因?yàn)?[4+（m-1）（k-5）]是偶數(shù)，所以（k-3）³也是偶數(shù)，
即k-3為偶數(shù)，所以k為奇數(shù)．

點(diǎn)評：此題考查了等差數(shù)列，等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式，還考查了解方程的能力，數(shù)列求和的錯位相減法，及學(xué)生的計(jì)算能力．