【題目】在平面直角坐標系xOy中,已知直線l:x﹣y+4=0和圓O:x2+y2=4,P是直線l上一點,過點P作圓C的兩條切線,切點分別為M,N.
(1)若PM⊥PN,求點P坐標;
(2)若圓O上存在點A,B,使得∠APB=60°,求點P的橫坐標的取值范圍;
(3)設(shè)線段MN的中點為Q,l與x軸的交點為T,求線段TQ長的最大值.
【答案】(1)P(﹣2,2);(2)[﹣4,0];(3)3
【解析】
(1)由PM⊥PN,則四邊形PMON為正方形,可得到圓心距離,由此可求得點坐標;
(2)設(shè)P(x,x+4),過P作圓的切線PC,PD,若圓O上存在點A,B,使得∠APB=60°,則∠CPD≥600,把它用坐標表示后可得范圍;
(3)設(shè)P(x0,x0+4),得以OP為直徑的圓的方程與x2+y2=4聯(lián)立(相減)可得MN所在直線方程,由直線方程與x2+y2=4聯(lián)立消元后用韋達定理可求得點的橫坐標,再得縱坐標,消去參數(shù)后得點軌跡方程,軌跡是圓(去掉原點),求出點坐標后,由點與圓的位置關(guān)系可得最大值.
(1)若PM⊥PN,則四邊形PMON為正方形,則P到圓心的距離為,∵P在直線x﹣y+4=0上,設(shè)P(x,x+4)
故|OP|,解得x=﹣2,故P(﹣2,2);
(2)設(shè)P(x,x+4),若圓O上存在點A,B,使得∠APB=60°,過P作圓的切線PC,PD,∴∠CPD≥600,∴∠CPO≥300,
在直角三角形△CPO中,∵300≤∠CPO<900,
∴sin∠CPO<1,即1,∴2OP≤4,
∴24,解得﹣4≤x≤0,∴點P的橫坐標的取值范圍為:[﹣4,0];
(3)設(shè)P(x0,x0+4),則以OP為直徑的圓的方程為,
化簡得,與x2+y2=4聯(lián)立,可得MN所在直線方程:x0x+(x0+4)y=4,
聯(lián)立,得,
,∴,所以,
∴Q的坐標為(,),
由,得,,代入化簡可得Q點的軌跡方程為:,圓心C(,),半徑R.
其中原點(0,0)為極限點(也可以去掉).由題可知T(﹣4,0),
∴|TC|.∴|TQ|≤|TC|+R=3.∴線段TQ長的最大值為3.
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【題目】在正四面體A—BCD中,棱長為4,M是BC的中點,
點P在線段AM上運動(P不與A、M重合),過
點P作直線l⊥平面ABC,l與平面BCD交于點Q,
給出下列命題:
①BC⊥平面AMD ②Q點一定在直線DM上
③
其中正確的是( )
A.①②B.①③C.②③D.①②③
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓: 的離心率為,點為左焦點,過點作軸的垂線交橢圓于、兩點,且.
(1)求橢圓的方程;
(2)在圓上是否存在一點,使得在點處的切線與橢圓相交于、兩點滿足?若存在,求的方程;若不存在,請說明理由.
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【題目】某工廠為提高生產(chǎn)效率,開展技術(shù)創(chuàng)新活動,提出了完成某項生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式.為比較兩種生產(chǎn)方式的效率,選取40名工人,將他們隨機分成兩組,每組20人,第一組工人用第一種生產(chǎn)方式,第二組工人用第二種生產(chǎn)方式.根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時間(單位:min)繪制了如下莖葉圖:
(1)根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高?并說明理由;
(2)求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù),并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間超過和不超過的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表:
超過 | 不超過 | |
第一種生產(chǎn)方式 | ||
第二種生產(chǎn)方式 |
(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表,能否有99%的把握認為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異?
附:,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若對于任意的(為自然對數(shù)的底數(shù)),恒成立,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)若關(guān)于的不等式在上恒成立,求的取值范圍;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù),在(Ⅰ)的條件下,試判斷在上是否存在極值.若存在,判斷極值的正負;若不存在,請說明理由.
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