Question

【題目】橢圓C焦點(diǎn)在y軸上，離心率為 ，上焦點(diǎn)到上頂點(diǎn)距離為2﹣ ．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線l與橢圓C交與P，Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，△OPQ的面積S△OPQ=1，則| |2+| |2是否為定值，若是求出定值；若不是，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可得 ，

解得 ，

可得b2=a2﹣c2=1，

即有橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為： ；

（2）解：設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2）

①當(dāng)l斜率不存在時(shí)，P，Q兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，

S△OPQ=|x1||y1|=1，

又 ，解得 ，

| |2+| |2=2（x12+y12）=2×（ +2）=5；

②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx+m，

由題意知m≠0，將其代入 ，得

（k2+4）x2+2kmx+m2﹣4=0，

即有 ，

則 ，O到PQ距離 ，

則 ，

解得k2+4=2m2，滿足△＞0，

則 ，

即有| |2+| |2=（x12+y12）（x22+y22）

=

= =﹣3+8=5，

綜上可得| |2+| |2為定值5．

【解析】（1）運(yùn)用橢圓的離心率公式和兩點(diǎn)的距離公式，及a，b，c的關(guān)系，解得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；（2）設(shè)P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），討論直線l的斜率不存在和存在，設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和判別式大于0，結(jié)合三角形的面積公式，點(diǎn)到直線的距離公式和弦長(zhǎng)公式，化簡(jiǎn)整理，即可得到所求和為定值5．