函數(shù)y=f（x）=ax+b滿足f（0）=1且數(shù)學(xué)公式
（1）求f（x）的解析式．
（2）試判斷函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=x有無交點(diǎn)，并證明你的判斷．

解：（1）f'（x）=axlna，依題意得f（0）=a0+b=1，
解得，
∴…（4分）
（2）函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=x有兩交點(diǎn)．…（6分）
證明：，
令g（x）=，
令g'（x）=0，解得x=3ln3
g'（x）＞0，解得x＞3ln3　　　　　
g'（x）＜0，得x＜3ln3
所以g（x）min=g（3ln3）=3-3ln3＜0…（9分）
顯然g（6）═e2-6＞0，又g（x） 在（3ln3，+∞）上是增函數(shù)，
∴g（x）=在（3ln3，+∞）上有一個(gè)根．…（11分）
而g（-3）═e-1+3＞0，又g（x） 在（-∞，3ln3）上是減函數(shù)，
∴g（x）=在（-∞，3ln3）上有一個(gè)根．…（13分）
綜上所述函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=x有兩交點(diǎn)．…（14分）
分析：（1）先求出其導(dǎo)函數(shù)，再結(jié)合f（0）=1以及得到關(guān)于a和b的方程，求出a和b的值即可求f（x）的解析式；
（2）先根據(jù)條件把判斷函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=x有無交點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為f（x）=x有無根的問題；再構(gòu)造出函數(shù)出g（x）=，根據(jù)其導(dǎo)函數(shù)研究出其最值及其單調(diào)性即可的出結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用以及指數(shù)函數(shù)的綜合問題．解決第二問的關(guān)鍵在于把判斷函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=x有無交點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為方程f（x）=x有無根的問題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）的定義域[-1，5]，部分對(duì)應(yīng)值如表，f（x）的導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的圖象如圖所示
x -1 0 2 4 5
F（x） 1 2 1.5 2 1
下列關(guān)于函數(shù)f（x）的命題；
①函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇1，2]；
②函數(shù)f（x）在[0，2]上是減函數(shù)
③如果當(dāng)x∈[-1，t]時(shí)，f（x）的最大值是2，那么t的最大值為4；
④當(dāng)1＜a＜2時(shí)，函數(shù)y=f（x）-a最多有4個(gè)零點(diǎn)．
其中正確命題的序號(hào)是
①②④
①②④
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇-1，5]，部分對(duì)應(yīng)值如下表，f（x）的導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的圖象如圖所示，給出關(guān)于f（x）的下列命題：
x -1 0 2 4 5
f（x） 1 2 0 2 1
①函數(shù)y=f（x）在x=2時(shí)，取極小值；
②函數(shù)f（x）在[0，1]是減函數(shù)，在[1，2]是增函數(shù)；
③當(dāng)1＜a＜2時(shí)，函數(shù)y=f（x）-a有4個(gè)零點(diǎn)；
④如果當(dāng)x∈[-1，t]時(shí)，f（x）的最大值是2，那么t的最小值為0，
其中所有正確命題的個(gè)數(shù)是（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇-1，5]，部分對(duì)應(yīng)值如下表，f（x）的導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的圖象如圖所示． 下列關(guān)于f（x）的命題：
x -1 0 4 5
f（x） 1 2 2 1
①函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)為0，4；
②函數(shù)f（x）在[0，2]上是減函數(shù)；
③如果當(dāng)x∈[-1，t]時(shí)，f（x）的最大值是2，那么t的最大值為4；
④當(dāng)1＜a＜2時(shí)，函數(shù)y=f（x）-a有4個(gè)零點(diǎn)；
⑤函數(shù)y=f（x）-a的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可能為0、1、2、3、4個(gè)．
其中正確命題的個(gè)數(shù)是（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•天津模擬）已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇-1，5]，部分對(duì)應(yīng)值如下表．
x -1 0 4 5
f（x） 1 2 2 1
f（x）的導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的圖象如圖所示：
下列關(guān)于f（x）的命題：
①函數(shù)f（x）是周期函數(shù)；
②函數(shù)f（x）在[0，2]是減函數(shù)；
③如果當(dāng)x∈[-1，t]時(shí)，f（x）的最大值是2，那么t的最大值為4；
④當(dāng)1＜a＜2時(shí)，函數(shù)y=f（x）-a有4個(gè)零點(diǎn)；
⑤函數(shù)y=f（x）-a的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可能為0、1、2、3、4個(gè)．
其中正確命題的序號(hào)是
②⑤
②⑤
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•湖南模擬）已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇-1，5]，部分對(duì)應(yīng)值如下表，f（x）的導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的圖象如圖所示．
x -1 0 2 4 5
y 1 2 0 2 1
（1）f（x）的極小值為
0
0
；
（2）若函數(shù)y=f（x）-a有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為
[1，2）
[1，2）
．

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