Question

已知點P(1，-

3

2

)在橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上，橢圓C的左焦點為（-1，0）
（1）求橢圓C的方程；
（2）直線l過點T（m，0）交橢圓C于M、N兩點，AB是橢圓C經過原點O的弦，且MN∥AB，問是否存在正數(shù)m，使

|AB|2

|MN|

為定值？若存在，請求m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）利用橢圓的定義求出a=2，再求出b，由此能求出橢圓的標準方程．
（2）分類討論，當直線斜率存在時，設直線l的方程為y=k（x-m）（k≠0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由直線y=k（x-m）代入橢圓方程，消去y可得（3+4k²）x²-8k²mx+4k²m²-12=0，再由韋達定理，求出|MN|，同理求出|AB|，即可得出結論．

解答： 解：（1）橢圓C的左焦點為（1，0），∴c=1，橢圓C的右焦點為（-1，0）
可得2a=

(1+1)2+(- 3 2 )2

+

(1-1)2+(- 3 2 )2

=

5

2

+

3

2

=4，解得a=2，…（2分）
∴b²=a²-c²=4-1=3，
∴橢圓C的標準方程為

x2

4

+

y2

3

=1…（4分）
（2）設直線l：y=k（x-m），且M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x-m)

得（3+4k²）x²-8k²mx+4k²m²-12=0，
∴x₁+x₂=

8k2m

3+4k2

，x₁x₂=

4k2m2-12

3+4k2

…（7分）
∴|MN|=

1+k2 • 16[(12-3m2)k2+9]

3+4k2

…（10分）
由

x2 4 + y2 3 =1 y=kx

得x2=

12

3+4k2

設A（x₃，y₃），B（x₄，y₄）
得|AB|=

1+k2

|x3-x4|得|AB|2=

48(1+k2)

3+4k2

…（12分）
而64k⁴m²-16（3+4k²）（k²m²-3）=16[（12-3m²）k²+9]
∴當12-3m²=9即m=1時

|AB|2

|MM|

=4為定值，當k不存在時，定值也為4，
∴m=1…（15分）

點評：本題考查橢圓的方程，直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．