Question

已知拋物線x²=2y上有兩個(gè)點(diǎn)A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）且x₁x₂=-2m（m為定值且m＞0）．
（1）求證：線段AB與軸的交點(diǎn)為定點(diǎn)（0，m）；
（2） （理科）過A，B兩點(diǎn)做拋物線的切線，求夾角的取值范圍；
（文科）過A，B兩點(diǎn)做拋物線的切線，求兩切線夾角的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）線段AB與軸交點(diǎn)設(shè)為M（0，y），A，B，m（x₂-x₁）=y（x₂-x₁），m=y．
由此知線段AB與軸的交點(diǎn)為定點(diǎn)（0，m）．
（2）（理）設(shè)過A，B兩點(diǎn)做拋物線的切線的交點(diǎn)為P，則兩切線的夾角為∠APB．由x²=2y可得．由此借助導(dǎo)數(shù)可求出夾角的取值范圍．
（文）設(shè)過A，B兩點(diǎn)做拋物線的切線的交點(diǎn)為P，則兩切線的夾角為∠APB．由x²=2y可得，則y′=x過A，B兩點(diǎn)做拋物線的切線的斜率分別為K_AP=x₁，K_AP=x₂，由此可求出兩切線夾角的取值范圍．
解答：解：（1）∵x₁x₂=-2m＜0∴線段AB與軸必有交點(diǎn)，且設(shè)為M（0，y）．
設(shè)A，B，
∴∴
∵x₁x₂=-2m∴-mx₂-x₁y=-mx₁-x₂y
∴m（x₂-x₁）=y（x₂-x₁）∵x₂≠x₁∴m=y．
即線段AB與軸的交點(diǎn)為定點(diǎn)（0，m）．
（2）（理）設(shè)過A，B兩點(diǎn)做拋物線的切線的交點(diǎn)為P，則兩切線的夾角為∠APB．
由x²=2y可得，則y′=x，
∴過A，B兩點(diǎn)做拋物線的切線的斜率分別為K_AP=x₁，K_AP=x₂，
若，則．
若，∴=，
∵x₁x₂=-2m∴，
當(dāng)時(shí)，tan∠APB≥＞0∴∠APB＜．
當(dāng)時(shí)，tan∠APB≤＜0∴π-∠APB＜π．
綜上所述，，則時(shí)，∠APB＜.時(shí)，π-∠APB＜π．
（文）設(shè)過A，B兩點(diǎn)做拋物線的切線的交點(diǎn)為P，則兩切線的夾角為∠APB．
由x²=2y可得，則y′=x，
∴過A，B兩點(diǎn)做拋物線的切線的斜率分別為K_AP=x₁，K_AP=x₂，
若，則．
若，∴
∵x₁x₂=-2m∴．
∴，∠APB＜．
∴兩切線夾角的取值范圍為[，]．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓錐曲線的綜合應(yīng)用，解題時(shí)要注意討論思想的應(yīng)用．解答的關(guān)鍵是列方程和分類討論．屬難題．