Question

【題目】定義在R上的單調(diào)增函數(shù)f（x），對任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）若f（k3x）+f（3x﹣9x﹣2）＜0對任意x∈R恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：令x=y=0，代入f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），得f（0+0）=f（0）+f（0），即 f（0）=0．

令y=﹣x，代入f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），得 f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x），

又f（0）=0，則有0=f（x）+f（﹣x）．

即f（﹣x）=﹣f（x）對任意x∈R成立，所以f（x）是奇函數(shù)

（2）解：f（x）在R上是單調(diào)增函數(shù)，又由（1）知f（x）是奇函數(shù)．

∵f（k3x）＜﹣f（3x﹣9x﹣2）=f（﹣3x+9x+2），

∴k3x＜﹣3x+9x+2，

∴32x﹣（1+k）3x+2＞0對任意x∈R成立．

令t=3x＞0，問題等價于t2﹣（1+k）t+2＞0對任意t＞0恒成立．

令g（t）=t2﹣（1+k）t+2，其對稱軸為

當(dāng) ，即k＜﹣1時，g（0）＞2，符合題意；

當(dāng) ，即k≥﹣1時，則△=（1+k）2﹣4×2＜0，∴

綜上，

【解析】（1）根據(jù)f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），分別令x=y=0，y=﹣x，即可證得結(jié)論；（2）根據(jù)f（x）在R上是單調(diào)增函數(shù)，且是奇函數(shù)，將f（k3x）+f（3x﹣9x﹣2）＜0對任意x∈R恒成立，轉(zhuǎn)化為32x﹣（1+k）3x+2＞0對任意x∈R成立，進而可利用換元法及分類討論的思想，即可求得實數(shù)k的取值范圍．
【考點精析】利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)和奇偶性與單調(diào)性的綜合對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集；奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性．