Question

如圖，半徑為30cm的

1

4

圓形（O為圓心）鐵皮上截取一塊矩形材料OABC，其中點(diǎn)B在圓弧上，點(diǎn)A、C在兩半徑上，現(xiàn)將此矩形材料卷成一個(gè)以AB為母線的圓柱形罐子的側(cè)面（不計(jì)剪裁和拼接損耗），設(shè)OB與矩形材料的邊OA的夾角為θ，圓柱的體積為Vcm³；
（1）求V關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求圓柱形罐子體積V的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式在最值問題中的應(yīng)用,函數(shù)解析式的求解及常用方法,旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺(tái)）

專題：應(yīng)用題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）求出圓柱底面半徑，再求體積，即可求V關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式；
（2）換元，利用基本不等式，即可求圓柱形罐子體積V的最大值．

解答： 解：（1）在Rt△OAB中，OA=30cosθ，AB=30sinθ
設(shè)圓柱底面半徑為r，則30cosθ=2πr
即4π²r²=900cos²θ，
∴V=πr²•AB=

6750

π

cos²θsinθ．其中0＜θ＜90°．
（2）令sinθ=t（0＜t＜1），則cos²θsinθ=t（1-t²）
∵t²（1-t²）²=

1

2

×2t²（1-t²）（1-t²）≤

1

2

×(

2

3

)3
當(dāng)且僅當(dāng)2t²=1-t²，即t=

3

3

時(shí)，圓柱形罐子體積V的最大值

1500 3

π

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握?qǐng)A柱的體積計(jì)算公式、利用基本不等式求最值等是解題的關(guān)鍵．