Question

14．已知函數f（x）=$\frac{1}{2}$ax²-（2a+1）x+2lnx
（1）若f（x）在x=1處取得極值，求f（x）在[2，4]上的最大值
（2）若a≠$\frac{1}{2}$，試求函數f（x）的單調區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）求導，根據函數的極值點求出a的值，再判斷函數f（x）在[2，4]上的單調性，求出函數最值．
（2）利用導數求函數的單調區(qū)間的步驟是①求導函數f′（x）；②解f′（x）＞0（或＜0）；③得到函數的增區(qū)間（或減區(qū)間），在求單調區(qū)間時要注意函數的定義域以及對參數a的討論情況；

解答 解：（1）f′（x）=ax-（2a+1）+$\frac{2}{x}$，
∵f（x）在x=1處取得極值，
∴f′（1）=0，
∴a-（2a+1）+2=0，
解得a=1，
∴f（x）=$\frac{1}{2}$x²-3x+2lnx，
∴f′（x）=x-3+$\frac{2}{x}$，
令f′（x）=0，解得x=1，或x=2，
當f′（x）＞0時，即0＜x＜1，或x＞2，函數單調遞增，
∴f（x）在[2，4]上單調遞增，
∴f（x）_max=f（4）=-4+ln16；
（2）∵f′（x）=ax-（2a+1）+$\frac{2}{x}$=$\frac{a{x}^{2}-（2a+1）x+2}{x}$，x＞0
△=（2a+1）²-8a=（2a-1）²＞0恒成立，
令f′（x）=0，解得x₁=$\frac{2a+1+|2a-1|}{2a}$，或x₂=$\frac{2a+1-|2a-1|}{2a}$，
①當2a-1＞0時，即a＞$\frac{1}{2}$時，x₁=2，x₂=$\frac{1}{a}$，且x₁＞x₂＞0，
當f′（x）＞0時，即x＞2，或0＜x$＜\frac{1}{a}$，函數單調遞增，
當f′（x）＜0時，即$\frac{1}{a}$＜x＜2，函數單調遞減，
②當2a-1＜0時，且a＞0，即0＜a＜$\frac{1}{2}$，x₁=$\frac{1}{a}$，x₂=2，且x₁＞x₂＞0，
當f′（x）＞0時，即x＞$\frac{1}{a}$，或0＜x＜2，函數單調遞增，
當f′（x）＜0時，即2＜x＜$\frac{1}{a}$，函數單調遞減，
③當a＜0時，x₁=$\frac{1}{a}$（舍去），x₂=2，
當f′（x）＞0時，即x＞2，函數單調遞增，
當f′（x）＜0時，即0＜x＜2，函數單調遞減，
④當a=0時，f（x）=-x+2lnx，
∴f′（x）=-1+$\frac{2}{x}$=$\frac{2-x}{x}$，
當f′（x）＞0時，即0＜x＜2，函數單調遞增，
當f′（x）＜0時，即x＞2，函數單調遞減，
綜上所述，當a＜0時，函數f（x）在（0，2）上單調遞減，在（2，+∞）上單調遞增，
當a=0時，函數f（x）在（0，2）上單調遞增，在（2，+∞）上單調遞減，
當0＜a＜$\frac{1}{2}$時，函數f（x）在（$\frac{1}{a}$，+∞）和（0，2）上函數單調遞增，在（2，$\frac{1}{a}$）上單調遞減，
當a＞$\frac{1}{2}$時，函數f（x）在（2，+∞）和（0，$\frac{1}{a}$）上函數單調遞增，在（$\frac{1}{a}$，2）上單調遞減．

點評 本題考查利用函數的導數來求函數的單調區(qū)間，考查函數單調性的性質，構造函數求解證明不等式問題，屬于中檔題．