Question

如圖所示：一吊燈的下圓環(huán)直徑為4m，圓心為O，通過細(xì)繩懸掛在天花板上，圓環(huán)呈水平狀態(tài)，并且與天花板的距離（即OB）為2m，在圓環(huán)上設(shè)置三個(gè)等分點(diǎn)A₁，A₂，A₃．點(diǎn)C為OB上一點(diǎn)（不包含端點(diǎn)O、B），同時(shí)點(diǎn)C與點(diǎn)A₁，A₂，A₃，B均用細(xì)繩相連接，且細(xì)繩CA₁，CA₂，CA₃的長度相等，求細(xì)繩總長y的最小值，并求出此時(shí)BC的長度．

Answer 1

分析：在RT△COA₁中，設(shè)∠OA₁C=θ，則CA1=

2

cosθ

，CO=2tanθ，CB=2-2tanθ＞0，即可表示出y，利用導(dǎo)數(shù)得出其單調(diào)性即可求出．

解答：解：在RT△COA₁中，設(shè)∠OA₁C=θ，則CA1=

2

cosθ

，CO=2tanθ，
∵y=3CA₁+CB=

6

cosθ

+2-2tanθ=

2(3-sinθ)

cosθ

+2(0＜θ＜

π

4

)，
∴y′=2×

-cos2θ-(3-sinθ)(-sinθ)

cos2θ

=

2(3sinθ-1)

cos2θ

，
令y^′=0，則sinθ=

1

3

．
當(dāng)sinθ＞

1

3

時(shí)，y^′＞0；sinθ＜

1

3

時(shí)，y^′＜0，
∵y=sinθ在[0，

π

4

]上是增函數(shù)，
∴當(dāng)角θ滿足sinθ=

1

3

時(shí)，y最小為4

2

+2；此時(shí)BC=2-

2

2

m．

點(diǎn)評(píng)：正確表示出y，及熟練利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．