（本小題滿分13分）定義在上的函數(shù)同時滿足以下條件:

①在上是減函數(shù),在上是增函數(shù)；

②是函數(shù)的導函數(shù)且是偶函數(shù)；

③在處的切線與直線垂直．

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）設(shè)函數(shù),若存在,使成立，求實數(shù)的取值范圍．

（1）；（2） ．

【解析】

試題分析：（1），

∵ 在上是減函數(shù),在上是增函數(shù),

∴， ①

由是偶函數(shù)得:， ②

又在處的切線與直線垂直,

∴， ③

由①②③得:,即；

（2）由已知得:若存在,使,

即存在,使,

設(shè),

則

令=0,∵,∴

當時,,∴在上為減函數(shù) ．

當時,,∴在上為增函數(shù) ．

∴在上的最小值為，中較小者．

而，．即最小值為,

于是有為所求．

考點：考查了函數(shù)的性質(zhì)，利用導數(shù)研究函數(shù)的最值，不等式能成立問題．

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A B C D

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